La Figura 1 muestra la superficie S que tiene como frontera a la curva C . También se muestra la región R, que es la proyección de S sobre el plano xy.

                                                                         Figura 1.

Para comprender mejor la figura de arriba, se muestra abajo, en la Figura 2, el plano y cilindro descritos en el problema.   Rote la figura para obtener distintas vistas.  En particular, rote los ejes de tal forma que el eje z apunte perpendicular a la pantalla (tanto saliendo como entrando a la pantalla) y asegurese de que comprende por qué se afirma que la región R que proyecta S es circular.

                                                                   Figura 2.

La Figura 3 es similar a la Figura 1, pero con la posibilidad de poder girarla y verla desde distintos ángulos. ¿Queda claro que S proyecta una región circular R sobre el plano xy?

                                                                     Figura 3.

En la Figura 4 se muestra, a la izquierda, el campo   (vectores en color rojo) y la curva C de intersección entre el plano y el cilindro. En esa misma figura puede observar, en color negro, los vectores tangentes  en sentido positivo.  A la derecha de la misma figura se muestran, en mayor escala,  la misma curva  y algunos vectores del campo  sobre la misma.

                                                                                       Figura 4.

De acuerdo al teorema de Stokes, se utilizará el vector V× y se le considerará sobre la superficie S, que tiene como frontera a C.  En clase mostramos que para el campo vectorial considerado en este ejemplo, .  

En la Figura 5 se muestra, a la izquierda, el campo vectorial  (vectores en color verde).  Rote la figura y estudie detenidamente la forma que tiene ese campo vectorial.   A la derecha de la misma Figura 5 se muestra de nuevo el campo vectorial  en algunos puntos de la superficie S que tiene como frontera a la curva C.

                                                    Figura 5.

Al aplicar el teorema de Stokes, debemos recordar que

       (1)

donde   y R, como se muestra en la figura de abajo, es la proyección de S sobre el plano xy.

En este ejemplo, como se discutió anteriormente, la región R es un círculo de radio 1 (compare la figura que aparece inmediatamente abajo -recuerde que puede rotarla-, con la que aparece inmediatamente arriba):

En este ejemplo, , por lo que  y la aplicación de (1) da como resultado

y como R tiene forma circular (circulo de radio uno), resulta más conveniente utilizar coordenadas polares:

Por tanto,