• GRAFICOS 3D
  • Puntos
  • Lineas
  • Animacin en 3D
  • Superficies Cuadrticas
  • Planos
  • Superficies Cilndricas.
  • Superficies de Revolucin
  • Inecuaciones
  • Graficos especiales

MATEMTICAS

CON MAPLE

Para Estudiantes y Profesores

MAPLE V Versin...:. 5.1

Captulo III - Grficos:

Documento: Maple Manual Grficos

Captulo: III - Grficos

Elabor: Csar Ivn Tinoco.

Versin: 29 de Julio del 2.000

Los grficos nos ayudan, en la mayora de los casos, a comprender mejor un concepto o una idea matemtica. Con Maple , podemos presentar grficos de funciones, relaciones, puntos y funciones en diferentes coordenadas y con muchos atributos en dos o tres dimensiones y en diferentes sistemas de coordenadas.

La premisa bsica de este captulo es: Un grfico es un conjunto de puntos, un conjunto de puntos forman una estructura y como tal los intrerpreta Maple . Para los grficos debemos usar la librera plots que adiciona las siguientes ordenes:

> restart:with(plots):
setoptions(axes=normal,axesfont=[SYMBOL,10],titlefont=[HELVETICA,BOLD,12],symbol=circle,thickness=2,color=magenta,tickmarks=[3,3]);

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>

GRAFICOS 3D

Puntos

Un punto en el espacio tridimensional es una terna de nmeros (x,y,z). Al igual que en el plano , los podemos ubicar usando la orden Plot3d .

Orden ........: Plot3d

Sintxis ......: Plot3d ( expresin,x_rango,y_rango, <Opciones> )

Propsito ...: Ubica un conjunto de puntos en el espacio cartesiano, representados por expresin, que en este caso debe ser una lista de ternas (x,y,z). Es necesario establecer el rango en los ejes x e y.

> restart:with(plots):
setoptions3d(style=PATCH,axes=normal,axesfont=[SYMBOL,10],titlefont=[HELVETICA,BOLD,12],symbol=circle,thickness=2,tickmarks=[3,3,3]);
plot3d([2,3,4],x=0..10, y=0..10,style=point, axes=boxed,title=`Un punto en el Espacio`, orientation=[156,72]);

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> puntos:=[1,2,3],[2,3,4],[3,4,5],[5,6,7],[7,8,9];
plot3d({puntos},x=0..10,y=0..10,style=point,symbol=circle,axes=boxed,title=`Puntos en R3`,labels=[`Eje x`,`Eje y`,`Eje z`],orientation=[-45,69]);

Lineas

Una lneas en tres dimensiones esta definida por Ecuaciones Parmetricas. Es decir generar un conjunto de puntos agrupados en una matriz n*3. O tres vectores [X,Y,Z], cada uno de los cuales es una expresin en trminos de un avariable.

Orden ........: spacecurve

Sintxis ......: spacecurve ( [ L ] , X_rango , Y_rango , <Opciones> )

Propsito ...: Ubica un conjunto de puntos ( x , y , z ) en el espacio cartesiano de acuerdo a la definicin de la lista L, la cual es tomada por Maple como una matriz de puntos..

orientation , nos permite controlar la vista del objeto dibujado y las opciones disponibles en dos dimensiones estan disponible para tres dimensiones manteniendo las proporciones.

El siguiente grfico corresponde a la recta cuyas ecuaciones paramtricas son las siguientes.

, ,

> spacecurve([2-2*t,3+4*t,-4*5*t],t=-10..10,axes=boxed,title=`Una Linea`,orientation=[19,102]);
spacecurve([cos(t),sin(t),t],t=0..4*Pi,axes=boxed,title=`Una Espiral`);

>

Animacin en 3D

Al igual que en dos dimensiones, podemos escibir una funcin con un parmetro a modificar generar la grfica la cual convertir en una secuencia de cuadros o "pelcula" variando en el intervalo del parmetro.

Orden ........: animate3d

Sintxis ......: animate3d ( funcin , x_rango , y_rango , t_rango, <Opciones> )

Propsito ...: Anima la funcin variando el parmetro t en un rango especfico.

> restart:with(plots):
animate3d(cos(t*x)*sin(t*y),x=-Pi..Pi, y=-Pi..Pi,t=1..2,title=`Cos(x) * Sin (x)`,axes=none,frames=6);

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Podemos trabajar en diferentes tipos de coordenadas, cartesianas, cilindricas o esfricas, veamos la grfica de la funcin sen(u*t).

> animate3d(sin(t*u), x=1..3 , t=1..4,u=1..3, coords=spherical, axes=frame,title=`Sin(u*t) - Esfericas`,axes=boxed);
animate3d(sin(x)*cos(z*t),x=1..3,z=1..4,t=1/4..7/2,coords=cylindrical,axes=boxed,title=`Sin * Cos - Cilindricas`);

Veamos un sombrero y una silla de montar. Intente editar las siguientes expresiones y genere el movimiento cambiando los valores en x e y.

> f1:=sin(sqrt(2*x^2+2*y^2));
animate3d(t*f1,x=-2*Pi..2*Pi,y=-2*Pi..2*Pi,t=.5..5,scaling=constrained,axes=frame,title=`Un sombrero`);

Una silla de montar de diferentes ondulaciones.

> f2:=2*y^2-2*x^2;
animate3d(t*f2,x=-2*Pi..2*Pi,y=-2*Pi..2*Pi,t=1..8,scaling=unconstrained,axes=frame,title=`Silla de Montar`);

Un plano que se desplaza a lo largo del eje z y una animacin de una ecuacin parametrizada..

> animate3d(t,x=-10..10,y=-10..10,t=-10..10,axes=boxed,frames=50,title=`Plazo Z=t`);
animate3d([s*t1,t-t1,s*cos(t*t1)],s=1..3,t1=1..4,t=2..4,axes=boxed,title=`Paramtrica`);

>

Superficies Cuadrticas

La grfica de una ecuacin de segundo grado en tres variables es una Superficie Cuadrtica. La ecuacin general de una ecuacin de segundo grado.

Esta relacin la debemos graficarla con la orden:

Orden ........: implicitplot3d

Sintxis ......: implicitplot3d ( relacion , x_rango , y_rango , <Opciones> )

Propsito ...: Grafica la relacin en un rango especfico.

La ssiguientes graficas representan las superficies cuadrticas ms importantes:

> a:=4:
f1:=(x^2/16+y^2/9+z^2/4)=1;
implicitplot3d(f1,x=-a..a,y=-a..a,z=-a..a,axes=frame,title=`Elipsoide`,style=patchcontour);

> f2:=x^2/16+y^2/9=z/4;
a:=6:
implicitplot3d(f2,x=-a..a,y=-a..a,z=-a..a,axes=boxed,title=`Paraboloide`,style=patchcontour,view=[-4..4,-4..4,-4..4]);

> f3:=x^2/16+y^2/12=z^2/9;
a:=8:b:=10:
implicitplot3d(f3,x=-a..a,y=-a..a,z=-a..a,axes=frame,title=`Cono Elptico`,view=[-b..b,-b..b,-b..b],orientation=[57,66],style=patchcontour);

> f4:=(x^2/16+y^2/9-z^2/6)=1;
a:=15:b:=12:
implicitplot3d(f4,x=-a..a,y=-a..a,z=-a..a,axes=frame,title=`Hiperboloide`,view=[-b..b,-b..b,-b..b],orientation=[57,66],style=patchcontour);

Planos

Un plano en el espacio esta definido como: AX+BX+CY+D=0, es decir, polinomios de orden uno o ecuaciones de primer orden. Podemos graficar un plano como una ecuacin implicita. Observe los siguientes ejemplos:

> implicitplot3d(z=3,x=-10..10,y=-10..10,z=-10..10,title=`Plano z=5`,grid=[2,2,21],gridstyle='triangular',axes=frame,orientation=[58,27]);

>

> implicitplot3d(x+y+z=0,x=-10..10,y=-10..10,z=-10..10,title=`Plano x+y+z=0`,axes=frame,style=patch,grid=[4,4,4]);

>

Veamos lo splanos constantes, y = a, z = a.

> implicitplot3d(y=5,x=-10..10,y=-10..10,z=-10..10,title=`Plano y=5`,grid=[10,10,10],axes=boxed,style=patchnogrid);

> implicitplot3d(x=5,x=-10..10,y=-10..10,z=-10..10,title=`Plano x=5`,axes=boxed,style=patch,grid=[3,3,3]);

>

Superficies Cilndricas.

Una superficie cilndrica es el conjunto de rectas paralelas a otra no paralela a un plano de referencia y que interseptan a una curva C contenida en dicho palano

Graficar una superficie cilindrica es cono "estirar" a lo largo de un plano una curva de tal forma que esta curva pareciera la proyeccin perpendicular. Observe las siguientes figuras:

> f1:=x^2+y^2=4;
implicitplot3d(f1,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2,title=`Cilindro Circular Recto`,style=patchnogrid,axes=boxed,orientation=[43,36],style=patchcontour);

> f2:=y^2/9+z^2/4=1;
implicitplot3d(f2,x=-4..4,y=-4..4,z=-4..4,title=`Cilindro Eliptico`,style=patchnogrid,axes=boxed,style=patchcontour,orientation=[31,82]);

> f3:=z=4-x^4;
implicitplot3d(f3,x=-4..4,y=-4..4,z=-4..4,title=`Cilindro Parablico`,style=patchnogrid,axes=frame,style=patchcontour,numpoints=3000,orientation=[57,74]);

Superficies de Revolucin

Podemos graficar superficies de revolucin en forma implicita, como si fueran "Secciones Cnicas de Revolucin", por ejemplo:

> g1:=x^2+y^2+z^2=4;
implicitplot3d(g1,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2,title=`Esfera`,axes=frame,scaling=constrained,style=patchcontour);

> g2:=4*x^2+y^2+z^2=4;
implicitplot3d(g2,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2,title=`Hiperboloide`,axes=frame,scaling=constrained,style=patchcontour);

> g3:=z^2=x^2+y^2;
implicitplot3d(g3,x=-3..3,y=-3..3,z=-3..3,title=`Cono de 2 Hojas`,axes=frame,scaling=constrained, style=patchcontour,orientation=[40,52]);

> g4:=y^2+z^2=4*x;
implicitplot3d(g4,x=-5..5,y=-4..4,z=-4..4,title=`Cono`,axes=frame,scaling=constrained,style=patchcontour, orientation=[49,66],view=[-4..4,-4..4,-4..4]);

>

Inecuaciones

La grafica de una inecuacin es una regin, dicha regin puede ser acotada o no, dependiendo de la cantidad y caractersticas de las inecuaciones a dibujar. En el captulo de mtodo Simplex, usaremos fuertemente este concepto. Observe las siguientes grficas:

Orden ........: inequal

Sintxis ......: inequal( expresin, x_rango , y_rango , <Opciones> )

Propsito ...: Genera la grfica de la inecuaciones de expresin, coloreando la regin por fuera del conjunto solucin con el color establecido en la opcin optionesexcluded .

> setoptions3d(style=PATCH,axes=normal,axesfont=[SYMBOL,10],titlefont=[HELVETICA,BOLD,12],symbol=circle,thickness=2,tickmarks=[3,3,3]);
f1:=x+y<5;
inequal(f1,x=-1..5,y=-1..5, optionsexcluded=(color=yellow),titlefont=[HELVETICA,BOLD,12],thickness=2,view=[-1..6,-1..6], title=`Inecuacin x+y < 5`);

Un conjuto solucin o regin factible de un sistema de inecuaciones estar representado grficamente por un aregin acotada. Sea el siguiente conjunto de inecuaciones:

3x+2y<0

x>0

y>0

> inecua:={3*x+2*y<8,x>0,y>0};
inequal(inecua,x=-1..5,y=-1..5, optionsexcluded=(color=white),view=[-1..4,-1..5], title=`Regin Factible Solucin `,titlefont=[HELVETICA,BOLD,12],thickness=2);

>

Graficos especiales

Las graficas geometricas, esferas, tringulos, dodecaedros, etc, las veremos en los captulos de geometra. Ahora mostraremos algunas caractersticas importantes sobre grficos en dos dimensiones.

Podemos representar una funcin cuadrtica por medio de una recta !, cambiando la escala de los ejes.

logplot , presenta la grfica con el eje y en escla logartmica, semilogplot lo hace con el eje x y loglogplot con ambos ejes, observe:

> A:=array(1..2,[]):
A[1]:=plot(10^x,x=0..3,title=`Escla Normal`,titlefont=[HELVETICA,BOLD,12],thickness=2):
A[2]:=logplot(10^x,x=0..3,title=`Escala Logaritmica`,titlefont=[HELVETICA,BOLD,12],thickness=2):
display(A,xtickmarks=3);

> l:=[seq([i,i],i=1..20)];
logplot(l,style=point,symbol=circle,title=`Una Recta Logartmica`);

> loglogplot(l,style=point,symbol=circle,title=`Una verdadera Recta Logartmica`);

densityplot , presenta una maya de densidad de puntos. contourplot , presenta un agrficos de contornos sobre una funcin.

> densityplot(sin(x*y),x=-1..1,y=-1..1,axes=frame,title=`Puntos de Densida`);
plot3d(sin(x*y),x=-1..1,y=-1..1,axes=frame,title=`Funcin Normal`);

> contourplot(sin(x*y),x=-4..4,y=-4..4,axes=frame,title=`Curvas de Nivel`);

conformal , presenta el grfico de una funcin compleja F(z) desde a+bi a c+di, fielplot presenta el campo vectorial

> conformal(sin(z),z=0..2*Pi+Pi*I,grid=[15,15]);

> fieldplot([sin(x),cos(x)],x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,arrows=SLIM, color=x,axes=normal,title=`Campo Vectorial`);

tubplot , presenta un tubo sobre una curva especificada en ecuaciones paramtricas, matrixplot , presenta un ainterpretacin grafica de un amatriz.

> tubeplot([cos(t),sin(t),0],t=0..2*Pi,radius=.5,axes=none,title=`Tubo Circular`);

> with(linalg):
M:=matrix(3,3,[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]);
matrixplot(M,heights=histogram,axes=frame,gap=0.15,style=patch,orientation=[-126,39],title=`Grafico Matricial`);

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

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