• Initialisierung
• Beispiel: Schiefe Biegung
  • Beschreibung des Querschnitts
  • Beschreibung des Trgers, Geometrische Bedingungen
  • Belastung und Werkstoff
  • Lsung
• Initialisierung
• Beispiel: Stahlseil unter Eigengewicht
• Initialisierung
• Beispiel: Eisenbahnschiene unter Temperaturbelastung
• Beispiel: Torsionsstab
• Siehe auch:

Beispiel: Schiefe Biegung, Zug-/Druckstab, Torsion

Hier wird ein Beispiel betrachtet, bei dem ein Balken nicht nur in der Ebene, sondern rumlich belastet wird. Weiter wird auch Normalkraftbelastung betrachtet und Torsion angesprochen.

Initialisierung

>

restart;

>	libname:="C:/mylib/statik",libname;

>	with(plots):with(plottools):with(statik);

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Beispiel: Schiefe Biegung

Beschreibung des Querschnitts

Der Querschnitt ist ein auf dem Kopf stehendes L-Hohlprofil mit den folgenden Eckpunkten (alle Angaben sind in m):

>	Q:=[[0,2],[0,0],[1/2,0],[1/2,1],[1,1],[1,2],[0,2],[5/100,195/100],[95/100,195/100],[95/100,105/100],[45/100,105/100],[45/100,5/100],[5/100,5/100],[5/100,195/100]];

Man beachte: Querschnitte, deren Eckpunkte im Gegenuhrzeigersinn gezhlt werden, sind positiv, solche, die im Uhrzeigersinn gezhlt werden, sind negativ.

So sieht der Querschnitt aus:

>	QP:=querschnitt('plot','polygon',Q):

>	display(QP);

Der Strich in der linken oberen Ecke stellt keinen Ri im Profil dar. Er entsteht nur durch die Beschreibung des Querschnittes als ein einziger Polygon.

Die Querschnittswerte sind (wobei die Funktion expand wieder etwas ganz anderes bewirkt, als man denken wrde)

>	QS:=expand(querschnitt('calc','polygon',Q));

Im einzelnen sind die magebenden Werte:

Querschnittsflche

>

A:=QS[1];

Abstand des Schwerpunktes von der linken unteren Ecke in y-Richtung

>	ey:=QS[2];

in z-Richtung

>	ez:=QS[3];

Flchentrgheitsmoment um die y-Achse

>	Iy:=QS[4];

Flchentrgheitsmoment um die z-Achse

>	Iz:=QS[5];

Zentrifugales Flchentrgheitsmoment

>	Iyz:=QS[6];

Fr diesen Querschnitt werden die Haupttrgheitsmomente und die Hauptachsenrichtung bestimmt. Dies ist fr die weitere Rechnung nicht notwendig und wird hier nur zur Demonstration durchgefhrt

>	Ih:=haupttraegheit(Iy,Iz,Iyz);

Im folgenden Bild wird der Querschnitt gedreht dargestellt. Das globale Y-Z-Koordinatensystem (in schwarz) ist parallel zu den Hauptachsen

>	display(rotate(QP,-Ih[3]));

Spter wird auch der Hohlraum im inneren bentigt. Dieser ergibt sich aus

>	Q1:=[[5/100,195/100],[95/100,195/100],[95/100,105/100],[45/100,105/100],[45/100,5/100],[5/100,5/100],[5/100,195/100]];

Wieder erfolgt die Kontrolle der Eingabe grafisch

>	querschnitt('plot','polygon',Q1);

Und die Querschnittsflche im Inneren ist

>	Ai:=querschnitt('calc','polygon',Q1)[1];

Da es sich um einen Hohlraum handelt und die Durchnumerierung hier im Urzeigersinn verluft, ist der Wert hier negativ. Da wir aber mit dem Betrag arbeiten, folgt ein weiterer Schritt

>	Ai:=abs(Ai);

Beschreibung des Trgers, Geometrische Bedingungen

Bei dem betrachteten System soll es sich um eine Wasserleitung handeln. Die Lnge sei (in m)

>

L:=50;

Die Randbedingungen mssen in y- und z-Richtung identisch sein. Hier sei der Trger links eingespannt und rechts drehbar gelagert

>	RB1:=x=0,w=0;

>	RB2:=x=0,phi=0;

>	RB3:=x=L,w=0;

>	RB4:=x=L,M=0;

Zusammengefat:

>	RB:=[RB1,RB2,RB3,RB4];

Belastung und Werkstoff

Das Material der Wasserleitung sei Stahl mit einer Rohdichte von 7850 kg/m, damit folgt mit einer Erdbeschleunigung von 9.81 m/s die Belastung durch Eigengewicht in N/m:

>	q:=A*7850*981/100;

Der Querschnitt sei vollkommen mit Wasser gefllt. Der Hohlraum ist oben berechnet. Mit der Dichte 1000 kg/m folgt

>	p:=Ai*1000*981/100;

Somit ist die Belastung vertikal nach unten

>

qz:=q+p;

Horizontal wird Windbelastung in positiver y-Richtung angesetzt (Beachte: die positive y-Achse zeigt entgegen der positiven Achse im Maple-Diagramm)

>

qy:=5000;

Stahl hat einen E-Modul (in N/m) von

>	Emod:=210*10**9;

Damit folgt

>	EIy:=Emod*Iy;

>	EIz:=Emod*Iz;

>	EIyz:=Emod*Iyz;

Lsung

Nun sind alle Angaben zur Berechnung gegeben. Das Ergebnis ist etwas zu unbersichtlich, um hier ausfhrlich dargestellt zu werden. (Die Variable x ist die vernderliche in x-Richtung des Balkens.)

>	dfrm:=balken3d(x,qy,qz,EIy,EIz,EIyz,RB):

Hierin sind die Ergebnisse folgendermaen angeordnet: (Dabei ist die Verdrehung  entgegen der positiven y-Achse positiv definiert.)

Es werden die Resultate deshalb in Fliekommadarstellung angegeben:

Durchbiegung in y-Richtung

>	wy:=evalf(dfrm[1]);

Durchbiegung in z-Richtung

>	wz:=evalf(dfrm[2]);

Verdrehung um die in y-Achse (zeigt entgegen der y-Achse)

>	phiy:=evalf(dfrm[3]);

Verdrehung um die y-Achse

>	phiz:=evalf(dfrm[4]);

Biegemoment um die y-Achse

>	My:=evalf(dfrm[5]);

Biegemoment um die z-Achse

>	Mz:=evalf(dfrm[6]);

Querkraft in y-Richtung

>	Qy:=evalf(dfrm[7]);

Querkraft in z-Richtung

>	Qz:=evalf(dfrm[8]);

Steigung der Spannungsnullinie

>	SNL:=evalf(simplify(dfrm[9]));

Die Spannungsnullinie ist damit

>

Z:=SNL*Y;

Im folgenden Bild ist die Verformung des Balkens dreidimensional dargestellt. Zur besseren Veranschaulichung werden die Durchbiegungen negativ dargestellt, damit das Bild der realen Form entspricht

>	plot3d([x,-wy,-wz],x=0..L,y=0..1,thickness=3,labels=["x","wy","wz"],title="Verformter Balken",axes=boxed, orientation=[-135,45]);

Im folgenden sind die Ergebnisse grapfisch in Form von 2D-Plots dargestellt

>	display({plot(wy,x=0..L,color=green, thickness=3,legend=["wy"]),plot(wz,x=0..L,color=blue, thickness=3,legend=["wz"])},title=Biegelinien);

>	display({plot(phiy,x=0..L,color=green, thickness=3,legend=["phiy"]),plot(phiz,x=0..L,color=blue, thickness=3,legend=["phiz"])},title=Verdrehungen);

>	display({plot(My,x=0..L,color=green, thickness=3,legend=["My"]),plot(Mz,x=0..L,color=blue, thickness=3,legend=["Mz"])},title=Momentenlinien);

>	display({plot(Qy,x=0..L,color=green, thickness=3,legend=["Qy"]),plot(Qz,x=0..L,color=blue, thickness=3,legend=["Qz"])},title=Querkraftlinien);

Im folgenden Bild ist der Querschnitt und die Spannungsnullinie eingetragen. Dabei ist mu die Spannungsnullinie in den Schwerpunkt des Querschnittes verschoben werden.

>	SNLP:=plot(Z,Y=-1.2..1.2,thickness=3,color=red):

>	display({QP,translate(SNLP,ey,ez)},title="Querschnitt mit Spannungsnullinie");

Initialisierung

>

restart;

>	libname:="C:\\mylib\\statik",libname;

>	with(plots):with(plottools):with(statik);

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Beispiel: Stahlseil unter Eigengewicht

Hier wird die Situation betrachtet, da ein langes Stahlseil an einem Ende befestigt ist und mit dem anderen frei nach unten hngt. Die Frage lautet: Wie lang kann das Seil sein, bevor es unter seinem Eigengewicht reit?

Vorgaben: Stahl hat einen E-Modul (in N/m)

>	Emod:=210*10**9;

und ein spezifisches Gewicht (in kg/m)

>	rho:=7850;

Das Stahlseil sei von nicht besonderer Gte und habe eine Zugfestigkeit (in N/m)

>	Rg:=370*10**6;

Die Erdbschleunigung ist

>	g:=981/100;

Die ber die Lnge des Seils verteilte Streckenlast in Seilrichtung ist damit

>	n:=rho*g*A;

Die x-Kordinate luft vom Aufhngepunkt entlang des Seils senkrecht nach unten. Die Randbedingungen sind

>	RB1:=x=0,u=0:                                      oberes Seilende gehalten

>	RB2:=x=L,N=0:              unteres Seilende frei und unbelastet

>	RB:=[RB1,RB2];

Hiermit sind alle Eingabegren fr die Funktion stab gegeben

>	lsg:=stab(x,n,Emod*A,RB);

Die Verschiebung des Seils an der Stelle x ist

>	s:=simplify(lsg[1]);

und die Normalkraft:

>	N:=simplify(lsg[2]);

Aus der Normalkraft folgt die Spannung

>	sigma:=simplify(N/A);

Bereits hier ist zu erkennen, da die Verlngerung und die Spannungen unabhngig von der Querschnittsflche sind. Das wird folglich auch fr das Ergebnis gelten. Die Antwort noch der Frage der mglichen Lnge folgt aus der Gleichung

>	eq:=subs(x=0,sigma)=Rg;

>	Lgrenz:=evalf(solve(eq,L));

Dies ist eine Lnge von mehr als 4.8 km.

Initialisierung

>

restart;

>	libname:="C:\\mylib\\statik",libname;

>	with(plots):with(plottools):with(statik);

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Beispiel: Eisenbahnschiene unter Temperaturbelastung

Frher wurden Eisenbahnschienen mit einer Dehnfuge versehen, um Spannungen infolge Temperaturdehnungen zu verhindern. Heute werden Schienen endlos aneinander geschweit. Im Extremfall knnen aber infolge von Temperaturunterschieden von im Winter vielleicht um die -30C und im Sommer bei direkter Sonneneinstrahlung um die +50C durchaus erhebliche Spannungen auftreten. Die Frage ist nun: Wie gro sind bei einem bei 20C spannungsfrei eingebauten Gleis die Spannungen bei

a) -30C  und bei

b) +50C ?

Lsungsweg:

Aus der sehr langen Schiene wird ein Segment der Lnge L betrachtet. Die beiden Enden dieses Segmentes sind unverschieblich, da sie in Wirklichkeit mit der anschlieenden Schiene verbunden sind. Damit sind die Randbedingungen fr das betrachtete Schienenstck:

>	RB1:=x=0,u=0:

>	RB2:=x=L,u=0:

>	RB:=[RB1,RB2];

Die Querschnittsflche ist A. Der E-Modul von Stahl ist wieder (in N/m)

>	Emod:=210*10**9;

Stahl hat einen Wrmeausdehnungskoeffizient (in 1/K)

>	alpha:=12*10**(-6);

Es gibt hier keine uere Kraft in Schienenlngsrichtung, also gilt

>

n:=0;

Fall a)

Die Temperaturdifferenz zwischen spannungsloser Situation und -30C ist (in K)

>

dTa:=-50;

Damit folgt

>	lsga:=stab(x,n,Emod*A,alpha,dTa,RB);

Die Normalspannung in der Schiene ist damit (in N/mm)

>	sa:=lsga[2]/A*10**(-6);

Diese Zugspannung kann von der Schiene durchaus aufgenommen werden.

Fall b)

Die Temperaturdifferenz zwischen spannungsloser Situation und +30C ist (in K)

>

dTb:=+30;

Damit folgt

>	lsgb:=stab(x,n,Emod*A,alpha,dTb,RB);

Die Normalspannung in der Schiene ist damit (in N/mm)

>	sb:=evalf(lsgb[2]/A*10**(-6));

Auch diese Druckspannung stellt keine Gefahr dar, vorausgesetzt, die Knickgefahr wird bercksichtigt.

Zusatzfrage:  Wie gro wre die Fuge bei einer Temperatur von -30C bei einer Schiene mit der Lnge (in m)

>

L:=20;

wenn die Schienen mit Fugen verlegt wrden und die Fugen bei +50C gerade geschlossen wren?

Lsung: Es wird angenommen, da das eine Ende der Schiene unverschieblich, das andere frei sei:

>	RBz1:=x=0,u=0:

>	RBz2:=x=L,N=0:

>	RBz:=[RBz1,RBz2];

Die Temperaturdifferenz ist nun (in K)

>

dTz:=-80;

>	lsgz:=stab(x,n,Emod*A,alpha,dTz,RBz);

Die Verschiebung am freien Ende ergibt die gesuchte Gre der Fuge:

>	evalf(subs(x=L,lsgz[1]));

>

Das ist immerhin eine Fuge von ca. 20 mm.

Beispiel: Torsionsstab

Torsionsstbe knnen in diesem Package in der jetzigen Form nur in sehr eingeschrnkten Mae berechnet werden. Voraussetzung ist:

1. Es gibt nur reine Torsion (Saint-Venantsche Torsion) und keine Wlbkrafttorsion

2. Das Torsionsmoment  und die Torsionssteifigkeit  mssen ber die Stablnge konstant sein.

Wegen dieser Einschrnkungen macht ein ausfhrlicheres Beispiel als das im Hilfetext aufgefhrte hier keinen Sinn und es wird auf torsion  verwiesen.

Siehe auch:

statik , balken3d , stab , torsion