Exact Analytical Solution of Diodes bridge 

Solution Analytique Exacte du Pont de Diodes 

by Professor El Mahdi Assaid (a), (b) 

and Professor M'hamed El Aydi (a), (b), (c)   

(a) Laboratoire d'Electronique et Optique des Nanostructures de Semi-conducteurs (LEONS) 

(b) Groupe d'Electronique et Optique du Solide (GEOS) 

D?partement de Physique, Facult? des Sciences, Universit? Choua?b Doukkali ? El Jadida, Royaume du Maroc 

(c) D?partement de Math?matiques, Centre P?dagogique R?gional, El Jadida, Royaume du Maroc    

eassaid@yahoo.fr, ? 2007 El Mahdi Assaid 

ABSTRACT : In this application worksheet, we use Maple software to determine exact analytical solutions for the current flows through the different branches of the circuit known as Gra?tz bridge. This circuit is used in electronics as full wave rectifier, it is formed by four non-ideal diodes and one diagonal resistance. Then, we derive analytical expressions for the voltages at the terminals of all elements in the circuit. Finally, we calculate the dynamical resistances of different diodes in the circuit. The proposed analytical solutions are all expressed as functions of the Lambert W function. 

SUBJECTS : Electronics, Semiconductor Physics. 

KEYWORDS : Diodes bridge, Gra?tz bridge, Lambert W function. 

RESUME : Dans cette feuille d'application, nous utilisons le logiciel de calcul formel Maple dans la r?solution analytique exacte des courants ?lectriques traversant les diff?rentes branches du montage connu sous le nom de pont de Gra?tz. Ce circuit est utilis? en ?lectronique dans le redressement double alternance, il est constitu? par quatre diodes non id?ales et une r?sistance diagonale. Puis, nous d?terminons les expressions analytiques exactes des diff?rences de potentiel aux bornes de tous les ?l?ments du montage. Enfin, nous calculons les r?sistances dynamiques des diff?rentes diodes du circuit. Les solutions analytiques propos?es sont toutes exprim?es en fonction de la fonction de lambert W. 

SUJETS : Electronique, Physique des semi-conducteurs. 

MOTS CLES : Pont de diodes, Pont de Gra?tz, Fonction de Lambert W. 

INTRODUCTION 

 

For a long time, it has been asserted that it was not possible to solve the problem of current flow in a diode driven by a voltage source through a series resistance. This problem was even qualified as elusive because it led to a transcendental equation giving the current through the diode as a function of the input voltage and the current itself. In the year 2000, T.C. Banwell and A. Jayakumar has proposed an exact analytical solution for this problem using the lambert W function [1]. In july 2005, M. Vargas-Drechsler has found the same exact analytical solution using Maple [2]. In the present application worksheet, we use Maple to determine exact analytical solutions for the current flows and the voltages in the electronic circuit called Gra?tz Bridge (see figure 1). We also use Maple in order to graph and animate all the analytical solutions. 

 

Pendant longtemps, il ?tait commun?ment admis que le probl?me du courant traversant une diode mont?e en s?rie avec une r?sistance, l'ensemble aliment? par une source de tension, ?tait insoluble analytiquement. Ce probl?me ?tait m?me qualifi? d'insaisissable puisqu'il conduisait ? une ?quation transcendante exprimant le courant traversant la diode en fonction de la tension d'entr?e et du courant lui m?me. En l'an 2000, T.C. Banwell et A. Jayakumar ont propos? une solution analytique pour ce probl?me en utilisant la fonction de Lambert W [1]. En Juillet 2005, M. Vargas-Drechsler a trouv? la m?me fonction analytique exacte en utilisant Maple [2]. Dans la pr?sente feuille d'application, nous utilisons Maple pour d?terminer les solutions analytiques exactes des courants et des tensions dans le circuit ?lectronique appel? Pont de Gra?tz (voir figure 1). Nous utilisons aussi Maple pour tracer et animer toutes les solutions analytiques. 

     

BASIC CIRCUIT EQUATIONS 

EQUATIONS DE BASE DU CIRCUIT 

 

We consider the circuit formed by four non-ideal identical diodes , , and and one diagonal resistance . The whole circuit is driven by a voltage source (see figure 1). 

Nous consid?rons le circuit form? par quatre diodes identiques et non id?ales , , et et une r?sistance diagonale . L'ensemble est soumis ? une tension (voir figure1). 

 

 

Figure 1 

Applying the Kirchhoff's current law in A, B, C and D, we respectively obtain : 

En appliquant la loi des noeuds en A, B, C et D, nous obtenons respectivement : 

 

(1), 

(2), 

(3), 

 

and 

et 

 

(4). 

 

Taking into account the symmetry of the problem, we can write : 

En tenant compte de la sym?trie du probl?me, nous pouvons ?crire : 

 

(5), 

(6), 

 

equation (2) becomes : 

l'?quation (2) devient : 

 

(2'), 

 

Substituting for in equation (1), we obtain : 

En substituant par dans l'?quation (1), nous obtenons : 

 

(7). 

 

The currents and are respectively related to the voltages and by the two diode equations : 

Les courants et sont reli?s respectivement au tensions et par les deux equations de diode : 

 

(8), 

 

and 

et 

 

(9).    

 

The application of the Kirchhoff's voltage law leads to : 

L'application de la loi de Kirchhoff relative ? la tension conduit ? : 

 

(10), 

(11). 

 

In accordance with the fact that and , equations (10) and (11) become respectively : 

En vertu du fait que et , les ?quations (10) et (11) deviennent respectivement : 

 

(10'), 

(11'). 

 

Making the addition hand to hand of equations (10') and (11'), we obtain : 

En faisant l'addition membre ? membre des equations (10') et (11'), nous obtenons : 

 

(12). 

 

The last equation to be considered is the Ohm's law at the resistance terminals : 

La derni?re ?quation ? consid?rer est la loi d'Ohm entre les bornes de la r?sistance : 

 

(13). 

 

Equations (2'), (8), (9), (11) and (12) form a system of five equations with five unknowns and . In the following paragraph, we will  combine judiciously these five equations in order to lead to a transcendental equation connecting to and . 

Les ?quations (2'), (8), (9), (11) et (12) forment un syst?me de cinq ?quations ? cinq inconnues et . Dans le paragraphe suivant, nous allons combiner judicieusement ces cinq ?quations pour aboutir ? une ?quation transcendante reliant ? et . 

  

EXACT ANALYTICAL RESOLUTION 

RESOLUTION ANALYTIQUE EXACTE 

 

>

restart:

 

The five equations write : 

Les cinq ?quations s'?crivent : 

>	eq2p:=I1=IR+I2;

 

(3.1)

 

>	eq8:=I1=Is*(exp(q*VAB/eta/kB/T)-1);

 

(3.2)

 

>	eq9:=I2=-Is*(exp(-q*VAC/eta/kB/T)-1);

 

(3.3)

 

>	eq11p:=Ve=2*VAC-R*IR;

 

(3.4)

 

>	eq12:=VAB=Ve-VAC;

 

(3.5)

 

First af all, we express as a function of : 

Tout d'abord, nous exprimons en fonction de : 

>	eq8p:=subs(eq12,eq8);

 

(3.6)

 

Then, we express as a function of :   

Ensuite, nous exprimons en fonction de :  

>	eq14:=solve(eq9,VAC);

 

(3.7)

 

Next, we introduce the expression of in equation (8) giving : 

Puis, nous introduisons l'expression de dans l'?quation (8) donnant : 

>	eq15:=expand(subs(VAC=-ln(-(I2-Is)/Is)*eta*kB*T/q,eq8p));

 

(3.8)

 

Afterwards, the previous expression giving as a function of is incremented in equation (2') in order to give rise to :  

Dans ce qui suit, l'expression pr?c?dente donnant en fonction de est increment?e dans l'?quation (2') pour faire apparaitre : 

>	eq15p:=subs(eq15,eq2p);

 

(3.9)

 

Now, we introduce the diode equation giving versus in the previous equation :  

Maintenant, nous introduisons l'?quation de la diode donnant en fonction de dans l'?quation pr?c?dente : 

>	eq16:=subs(eq9,eq15p);

 

(3.10)

 

Finally, the expression of deduced from equation (11') is introduced in equation (16) in the aim to obtain a transcendental equation connecting to and : 

Finalement, l'expression de d?duite de l'?quation (11') est introduite dans l'?quation (16) en vue d'obtenir une ?quation transcendante reliant ? et : 

>	solve(eq11p,VAC);

 

(3.11)

 

>	eq16p:=expand(subs(VAC=(Ve+R*IR)/2,eq16));

 

(3.12)

 

The resolution of this transcendental equation using Maple leads to an expression of   as a function of :  

La r?solution de cette ?quation transcendante par Maple donne naissance ? une expression de en fonction de : 

>	solve(eq16p,IR);

 

(3.13)

 

>

IR:='IR';

 

(3.14)

 

>	IR:=-2*(-LambertW(1/2*q*R*Is*(1+exp(-1/2*q/eta/kB/T*Ve)^2)/eta/kB/T*exp(1/2*q/eta/kB/T*Ve+q*R*Is/eta/kB/T))*eta*kB*T+q*R*Is)/q/R;

 

(3.15)

 

The voltage at the resistance terminals write : 

La tension aux bornes de la r?sistance s'?crit :  

>

VR:=R*IR;

 

(3.16)

 

The voltage at the diode terminals reads : 

La tension aux bornes de la diode s'?crit :  

>	VAC:=(Ve+R*IR)/2;

 

(3.17)

 

The voltage at the diode terminals is : 

La tension aux bornes de la diode est :  

>	VAB:=(Ve-R*IR)/2;

 

(3.18)

 

The current flow through the diode is given by : 

Le courant ? travers la diode est donn? par : 

>	I1:=Is*(exp(q*VAB/eta/kB/T)-1);

 

(3.19)

 

The current flow through the diode  is expressed as follows : 

Le courant ? travers la diode est exprim? comme suit : 

>	I2:=-Is*(exp(-q*VAC/eta/kB/T)-1);

 

(3.20)

 

Finally, the current flow given by the voltage source writes : 

Finalement, le courant   d?livr? par la source de tension s'?crit :   

>	Ie:=I1+I2;

 

(3.21)

 

The current flow through a PN junction is related to the voltage at its terminals by the relation : 

Le courant traversant une jonction PN est reli? ? la tension entre ses bornes par la relation : 

>	eq17:=i=Is*(exp(q*v/eta/kB/T)-1);

 

(3.22)

 

The voltage is expressed as a function of the current flow by the relation : 

La tension est exprim?e en fonction du courant par la relation : 

>	solve(eq17,v);

 

(3.23)

 

>	v:=ln((i+Is)/Is)*eta*kB*T/q;

 

(3.24)

 

The dynamical resistance of the PN junction writes :  

La r?sistance dynamique de la jonction PN s'?crit : 

>	Rd:=diff(v,i);

 

(3.25)

 

GRAPHS OF CURRENT FLOWS AND VOLTAGES OF THE CIRCUIT AGAINST TIME 

TRACES DES COURANTS ET TENSIONS DU CIRCUIT EN FONCTION DU TEMPS 

 

>

restart;

 

The voltage driving the circuit writes : 

La tension d?livr?e par le g?n?rateur s'?crit : 

>	Ve:=t->Vm*sin(omega*t);

 

(4.1)

 

The current flow through the resistance is expressed as follows :  

Le courant traversant la r?sistance est exprim? comme suit : 

>	A:=t->-2*(-LambertW(1/2*q*Is*R*(1+exp(-q*Ve(t)/eta/kB/T))/eta/kB/T*exp(q*Ve(t)/eta/kB/T+1/2*q*(-Ve(t)+2*Is*R)/eta/kB/T))*eta*kB*T+q*Is*R)/R/q;

 

(4.2)

 

>	IR:=t->A(t);

 

(4.3)

 

In order to present the variations of the current flows and voltages of the circuit against time, we give numerical values to all physical parameters in the expression of [2] : 

Dans le but de repr?senter les variations des courants et des tensions du circuit en fonction du temps, nous donnons des valeurs num?riques ? tous les param?tres physiques dans l'expression de [2] : 

>	R:=100;Is:=10^(-9);q:=1.60219*10^(-19);eta:=1.8;kB:=1.38062*10^(-23);T:=300;Vm:=2;omega:=2*Pi*60;

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.4)

 

>

Ve(t);

 

(4.5)

 

>

IR(t);

 

(4.6)

 

In the following figure, we present the current flow through the resistace : 

Dans la figure suivante, nous repr?sentons le courant traversant la r?sistance : 

>	plot(IR(t),t=0..4*Pi/omega);

 

 

In the following figure, we present the voltages :  

1) driving the circuit, 

2) at the resistance terminals, 

3) at the diodes and terminals, 

4) at the diodes and terminals. 

 

Dans la figure suivante, nous repr?sentons les tensions :  

1) d?livr?e par le g?n?rateur basse fr?quence, 

2) aux bornes de la r?sistance , 

3) aux bornes des diodes et , 

4) aux bornes des diodes et . 

>	plot([Ve(t),R*IR(t),(Ve(t)-R*IR(t))/2,(Ve(t)+R*IR(t))/2],t=0..4*Pi/omega,color=[red,green,blue,brown]);

 

 

In the next figure, we draw the current flow through the diodes and   : 

Dans la figure suivante, nous repr?sentons le courant traversant les diodes et : 

>	VAC:=t->(Ve(t)+R*IR(t))/2;

 

(4.7)

 

>	I2:=t->-Is*(exp(-q*VAC(t)/eta/kB/T)-1);

 

(4.8)

 

>	plot(I2(t),t=0..4*Pi/omega);

 

 

Later, we present the current flow through the diodes and :    

Ensuite, nous pr?sentons le courant traversant les diodes et : 

>	VAB:=t->(Ve(t)-R*IR(t))/2;

 

(4.9)

 

>	I1:=t->Is*(exp(q*VAB(t)/eta/kB/T)-1);

 

(4.10)

 

>	plot(I1(t),t=0..4*Pi/omega);

 

 

Finalement, nous repr?sentons dans la figure suivante le courant d?livr? par le g?n?rateur basse fr?quence : 

Finally, we present in the next figure the current flow given by the low frequency generator : 

>	plot(I1(t)+I2(t),t=0..4*Pi/omega);

 

 

The dynamical resistance of the diodes and writes :  

La r?sistance dynamique des diodes et s'?crit : 

>	RdAB := t-> 1/(I1(t)+Is)*eta*kB*T/q;

 

(4.11)

 

The dynamical resistance of the diodes and is given by : 

La r?sistance dynamique des diodes et est donn?e par : 

>	RdAC := t-> -1/(I2(t)-Is)*eta*kB*T/q;

 

(4.12)

 

>	plot([RdAB(t),RdAC(t)],t=0..4*Pi/omega,color=[red,green]);

 

 

ANIMATION OF THE VOLTAGES OF THE CIRCUIT 

ANIMATION DES TENSIONS DU CIRCUIT 

 

>

restart;

 

>	with(plots):

 

>	Ve:=t->Vm*sin(omega*t);

 

(5.1)

 

>	A:=t->-2*(-LambertW(1/2*q*Is*R*(1+exp(-q*Ve(t)/eta/kB/T))/eta/kB/T*exp(q*Ve(t)/eta/kB/T+1/2*q*(-Ve(t)+2*Is*R)/eta/kB/T))*eta*kB*T+q*Is*R)/R/q;

 

(5.2)

 

>	IR:=t->A(t);

 

(5.3)

 

>	R:=100;Is:=10^(-9);q:=1.60219*10^(-19);eta:=1.8;kB:=1.38062*10^(-23);T:=300;omega:=2*Pi*60;

 

 

 

 

 

 

 

(5.4)

 

In the following figure, we present an animation of the voltages , , and for an input voltage amplitude lying in the range 0 to 10 Volts.  

Dans la figure suivante, nous pr?sentons une animation des tensions , , et pour une amplitude de la tension d'entr?e comprise entre 0 et 10 Volts. 

>	#animate({Ve(t),R*IR(t),(Ve(t)-R*IR(t))/2,(Ve(t)+R*IR(t))/2},t=0..4*Pi/omega,Vm=0..10,frames=50);

 

>	animate(Ve(t),t=0..4*Pi/omega,Vm=0..10,frames=50,color=red):F:=%:;

 

>	animate(R*IR(t),t=0..4*Pi/omega,Vm=0..10,frames=50,color=green):G:=%:

 

>	animate((Ve(t)-R*IR(t))/2,t=0..4*Pi/omega,Vm=0..10,frames=50,color=blue):H:=%:

 

>	animate((Ve(t)+R*IR(t))/2,t=0..4*Pi/omega,Vm=0..10,frames=50,color=brown):J:=%:

 

>	display({F,G,H,J},title="Gra?tz Bridge\nAnimation of Ve, r*Ir, Vd1 and Vd2");

 

 

CONCLUSION 

 

In this application worksheet, we have used Maple to determine exact analytical solutions for current flows and voltages in the circuit known as Gra?tz Bridge. We have also used the graphical functionalities of Maple in order to graph and animate these analytical solutions. The user of the present worksheet can do the following modifications :  

i) He can change the amplitude    of the sinusoidal signal and see the changes in the graphs and the animations. 

ii) He can change the physical parameters such as or and looks for the effect produced on the graphs and the animations. 

iii) He can substitute a square signal or a saw tooths-shaped signal for the sinusoidal signal and see the influence on the graphs and the animations. 

 

Dans cette feuille d'application, nous avons utilis? Maple pour d?terminer les solutions analytiques exactes des courants et des tensions du circuit connu sous le nom de Pont de Gra?tz. Nous avons aussi utilis? les fonctionnalit?s graphiques de Maple pour tracer et animer ces solutions analytiques. L'utilisateur de la pr?sente feuille peut effectuer les modifications suivantes : 

i) Changer l'amplitude du signal sinusoidal et regarder les changements dans les graphes et les animations. 

ii) Changer les param?tres physiques tels que   ou  et chercher l'effet produit sur les graphes et les animations. 

iii) Substituer le signal sinusoidal par un signal carr? ou un signal en dents de scie et regarder l'influence sur les graphes et les animations.    

      

REFERENCES 

 

[1] T. C. Banwell and A. Jayakumar, Exact Analytical Solution For Current Flow Through Diode With Series Resistance, Electronics Letters, 17th February 2000, Vol. 36, No. 4, 291-292.   

[2] Manuel A. Vargas-Drechsler, Maple worksheet entitled "Analytical Solution of Diode Circuits", July 2005 available online at the electronic address :   

http://www.maplesoft.com/Applications/appviewer.aspx?F=DiodeNew1.html&ID=969 

Legal Notice: The copyright for this application is owned by the author(s). Neither Maplesoft nor the author are responsible for any errors contained within and are not liable for any damages resulting from the use of this material. This application is intended for non-commercial, non-profit use only. Contact the author for permission if you wish to use this application in for-profit activities.