Konforme Abbildung, Ausweichstr?mung um eine Ellipse
Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. J. BETTEN,
RWTH Aachen, Tensorrechnung II
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F:=z->exp(I*gamma)*(z+sqrt(z^2-a^2+b^2))/2+(a+b)^2/2/(exp(I*gamma)*(z+sqrt(z^2-a^2+b^2))); |
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phi[a](x,y):=simplify(evalc(Re(F(x+I*y)))): # reelles Potential |
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eq:=evalf(subs({a=3,b=2,gamma=Pi/12},%)): |
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psi[a](x,y):=simplify(evalc(Im(F(x+I*y)))): # Stromfunktion |
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EQ:=evalf(subs({a=3,b=2,gamma=Pi/12},%)): |
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Ellipse[a]:=(x/a)^2+(y/b)^2; |
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Ellipse:=subs({a=3,b=2},%); |
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a:=3; b:=2; # Halbachsen der Ellipse als Beispiel |
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Verh?ltnis_der_Halbachsen:=a/b; |
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with(plots,implicitplot,conformal): |
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alias(H=Heaviside,th=thickness): |
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plot1:=implicitplot({EQ=-2,EQ=-1,EQ=-1/2,EQ=0,EQ=1/2,EQ=1, EQ=2}, x=0.001....8,y=-4..4,numpoints=5000,scaling=constrained,th=2,color=black): |
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plot2:=implicitplot({EQ_=-2,EQ_=-1,EQ_=-1/2,EQ_=0,EQ_=1/2,EQ_=1,EQ_=2}, X=-8..-0.001,y=-4..4,numpoints=5000,scaling=constrained,th=2,color=black): |
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plot3:=plot({-4,4,-4*H(x+8),4*H(x+8),-4*H(x-8),4*H(x-8)}, x=-8.001..8.001,y=-4..4,color=black, title="Ausweichstr?mung um eine Ellipse (a=3,b=2), gamma Pi/12"): |
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plots[display]({plot1,plot2,plot3}); |
Die Staupunkte ermittelt man wegen f '(z) = v[x] - i*v[y] aus f '(z) = 0. Da aber f '(z) nicht sein
darf wegen Gleichung (12.25) aus Tensorrechnung-Buch (Seite 230), bezeichne ich Staupunkte als
"kritische Punkte", nicht jedoch als "Singularit?ten". Beispielsweise sind Senken und Quellen singul?re
Punkte.
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f(z):=exp(I*gamma)*(z+sqrt(z^2-a^2+b^2))/2+ (a+b)^2/(2*exp(I*gamma)*(z+sqrt(z^2-a^2+b^2))); |
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(1) |
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Diff(f,z)=diff(f(z),z); # komplexe Ableitung |
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Staupunktlage:=solve(diff(f(z),z)=0,z); |
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X[1]:=simplify(evalc(Re(S[1]))); |
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Y[1]:=simplify(evalc(Im(S[1]))); |
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X[2]:=simplify(evalc(Re(S[2]))); |
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Y[2]:=simplify(evalc(Im(S[2]))); |
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Ellipse:=(x/a)^2+(y/b)^2-1; |
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ELLIPSE[1]:=subs({x=X[1],y=Y[1]},%); |
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ELLIPSE[2]:=subs({x=X[2],y=Y[2]},%%); |
Die Staupunkte liegen auf der Ellipse.
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