Approximations of Elliptic Integrals
Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. J. BETTEN
RWTH University Aachen
Mathematical Models in Materials Science and Continuum Mechanics
Augustinerbach 4-20
D-52056 A a c h e n , Germany
betten@mmw.rwth-aachen.de
Abstract
Using MAPLE V , Release 10, Elliptic Integrals hve been presented. Furthermore, the author proposes approximations based on both FOURIER and TAYLOR series.
Keywords: Elliptic Integrals; Approximation; FOURIER-Series; TAYLOR-Series
Elliptic Integral of the Second Kind
| > |
E(t,k):=Int(sqrt(1-k^2*(sin(x))^2),x=0..arcsin(t))=simplify(int(sqrt(1-k^2*(sin(x))^2),x=0..arcsin(t))) assuming t>=0 and t<1, k>=0 and k<1; |
 |
(2.1) |
| > |
for i in [0,1/2,2/3,1] do
E(t,i):=radsimp(subs(k=i,rhs(E(t,k))))
od; |
| > |
E(1,k):=EllipticE(1,k); |
 |
(2.3) |
| > |
for i in [0,1/2,2/3,1] do
E(1,i):= evalf(subs(k=i,EllipticE(k)))
od; |
| > |
alias(H=Heaviside,th=thickness,co=color): |
| > |
plot1:=plot({E(t,0),E(t,1/2),E(t,2/3),E(t,1)},t=0..1,scaling=constrained,th=1,co=black): |
| > |
plot2:=plot({1,1.3781,1.4675,Pi/2,(Pi/2)*H(t-1)},t=0..1.001,co=black): |
| > |
plots[display](plot1,plot2); |
| > |
for i in [0,1/4,1/2,3/4,1] do
E(i,2/3):= evalf(simplify(subs(t=i,E(t,2/3))))
od; |
| > |
alias(H=Heaviside,th=thickness,c=color): plot1:=plot(E(t,2/3),t=0..1,scaling=constrained,th=1,c=black): |
| > |
plot2:=plot({E(1,2/3),E(1,2/3)*H(t-1)},t=0..1.001,c=black): |
| > |
plots[display](plot1,plot2); |
FOURIER-Approximation
Integrand w(x) des elliptischen Integrals E(t, 2/3) zweiter Gattung in der LEGENDREschen Normalform f?r k = 2/3:
| > |
w(x):=sqrt(1-(4/9)*(sin(x))^2); |
 |
(3.1) |
| > |
w(Pi/2):=simplify(subs(x=Pi/2,%)); |
 |
(3.2) |
 |
(3.3) |
Der Integrand w(x) wird angn?hert durch folgende FOURIER-Reihe, die weiter unten hergeleitet wird:
| > |
F(x):=0.87733+0.12698*cos(2*x)-0.0046192*cos(4*x); |
 |
(3.4) |
| > |
plot3:=plot(w(x),x=0..2*Pi,sqrt(5)/3..1,th=1,c=red): |
| > |
plot4:=plot(F(x),x=0..2*Pi,th=3,c=blue,transparency=0.6,linestyle=DASH): |
| > |
plot5:=plot({1,H(x-2*Pi)},x=0..2.001*Pi,c=black): |
| > |
plots[display](plot3,plot4,plot5); |
Herleitung der FOURIER-Reihe F(x) des Integranden w(x) des elliptischen Integrals E(t, k):
| > |
Fourierreihe:= a[0]/2+sum(a[k]*cos(k*x)+b[k]*sin(k*x),k=1..infinity); |
![`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(a[0])), sum(`+`(`*`(a[k], `*`(cos(`*`(k, `*`(x))))), `*`(b[k], `*`(sin(`*`(k, `*`(x)))))), k = 1 .. infinity))](/view.aspx?SI=5475/Approx_Elliptic_Int_24.gif) |
(3.5) |
| > |
a[k]:=(1/Pi)*Int(f(x)*cos(k*x),x=-Pi..Pi); # k=0,1,2,... |
 |
(3.6) |
| > |
a[0]:=simplify(subs(k=0,%)); |
 |
(3.7) |
| > |
b[k]:=(1/Pi)*Int(f(x)*sin(k*x),x=-Pi..Pi); # k=0,1,2,... |
 |
(3.8) |
Integrand des elliptischen Integrals:
| > |
w(x):=sqrt(1-(4/9)*(sin(x))^2); |
 |
(3.9) |
| > |
A[0]:=value(subs(f(x)=w(x),a[0])); |
 |
(3.10) |
 |
(3.11) |
| > |
A[k]:=value(subs(f(x)=w(x),a[k])); |
 |
(3.12) |
| > |
for i in [0,2,4,6] do
A[i]:=evalf(value(subs(k=i,A[k])),6)
od; |
| > |
B[k]:=value(subs(f(x)=w(x),b[k])); |
 |
(3.14) |
Da der Integrand eine gerade Funktion ist, stellt die FOURIER-Reihe eine Cosinus-Reihe dar:
| > |
Fourierreihe[k=4]:=A[0]/2+sum(A[2*k]*cos(2*k*x),k=1..2); |
 |
(3.15) |
 |
(3.16) |
| > |
for i in [0,Pi/2,Pi] do
F(i):=evalf(simplify(subs(x=i,F(x))),5)
od; |
Die exakten Werte des Integranden sind F(0) = F(Pi) = 1 und F(Pi/2) = 0.745356.
Das Elliptische Integral E(t, 2/3) wird ersetzt durch die N?herung e(t, 2/3) , die man
durch folgende Integration erh?lt:
| > |
e(t,2/3):=Int(F(xi),xi=0..arcsin(t))=int(F(x),x=0..arcsin(t)); |
 |
(3.18) |
| > |
e(t,2/3):=evalf(rhs(%),5); |
 |
(3.19) |
Diese Funktion kann auch folgenderma?en ausgedr?ckt werden:
| > |
e_(t,2/3):=0.87733*expand(arcsin(t))+ 0.06349*expand(sin(2*arcsin(t)))- 0.0011548*expand(sin(4*arcsin(t))); |
 |
(3.20) |
| > |
for i in [0,1/4,1/2,3/4,1] do
e(i,2/3):=evalf(subs(t=i,e(t,2/3)))
od; |
| > |
for i in [0,1/4,1/2,3/4,1] do
e_(i,2/3):=evalf(subs(t=i,e_(t,2/3)))
od; |
| > |
E(t,2/3):=EllipticE(t,2/3); |
 |
(3.23) |
| > |
for i in [0,1/4,1/2,3/4,1] do
E(i,2/3):=evalf(subs(t=i,E(t,2/3)))
od; |
L-zwei Fehlernorm des Integranden:
| > |
L[2]:=sqrt((1/T)*Int((w(tau)-F(tau))^2,tau=0..T)); |
 |
(3.25) |
| > |
for i in [Pi/2,Pi] do
L_zwei[0..i]:= evalf(subs(t=i,sqrt((1/i)*int((w(x)-F(x))^2,x=0..t))),5)
od; |
 |
 |
(3.26) |
Die Werte zeigen, dass F(x) eine gute N?herung des Integranden w(x) darstellt.
| > |
alias(H=Heaviside,th=thickness,c=color): |
| > |
plot1:=plot(E(t,2/3),t=0..1,scaling=constrained,th=5,c=red,transparency=0.6): |
| > |
plot2:=plot(e(t,2/3),t=0..1,scaling=constrained,th=1,c=black): |
| > |
plot3:=plot({1.378,1.378*H(t-1)},t=0..1.001,c=black): |
| > |
plots[display](plot1,plot2,plot3); |
Die N?herung e(t, 2/3) unterscheidet sich vom Elliptischen Integral E(t, 2/3) nur innerhalb
der Strichst?rke und ist somit genauer und wesentlich einfacher als die in
[BETTEN, J.: Finite Elemente f?r Ingenieure 2, zweite Auflage, Springer-Verlag, 2004, * 7.5-23.mws ] diskutierte GAUSS-Quadratur!
Wahrer Fehler f?r k = 2/3:
| > |
Delta(t,2/3):=E(t,2/3)-e(t,2/3); |
 |
(3.27) |
| > |
plot(Delta(t,2/3),t=0..1,c=black); |
Relativer Fehler f?r k = 2/3:
| > |
relativer_Fehler(t,2/3):=Delta(t,2/3)/E(t,2/3); |
 |
(3.28) |
| > |
plot(relativer_Fehler(t,2/3),t=0..1,c=black); |
| > |
relativer_Fehler(0,2/3):=Limit(rel_Fehler(t,2/3),t=0)= evalf(limit(relativer_Fehler(t,2/3),t=0),4); |
 |
(3.29) |
Bemerkung: Der wahre Fehler Delta(t, 2/3) := E(t, 2/3) - e(t, 2/3) in [0, 1] liegt
zwischen -0.00005 und 0.00006 und der relative Fehler zwischen -0.00005 und 0.0003.
Mithin ist die auf der Basis einer FOURIER-Analyse gewonnene N?herung sehr gelungen.
Approximationen elliptischer Integrale erster und dritter Gattung oder auch Integrale, die
von RAMANUJAN untersucht wurden, k?nnen in gleicher Weise approximiert werden.
TAYLOR-Approximation
Im Folgenden wird das elliptische Integral E(t, 2/3) durch eine TAYLOR-Reihe gen?hert:
| > |
w(x):=sqrt(1-(2/3)^2*(sin(x))^2); |
 |
(4.1) |
| > |
TAYLOR_Reihe(x):=taylor(w(x),x=0,5); |
 |
(4.2) |
| > |
T[4](x):=1-2*x^2/9+4*x^4/81; |
 |
(4.3) |
| > |
e(t,2/3):=Int(TAYLOR[4](x),x=0..arcsin(t))= int(T[4](x),x=0..arcsin(t)); |
, x = 0 .. arcsin(t)) = `+`(arcsin(t), `-`(`*`(`/`(2, 27), `*`(`^`(arcsin(t), 3)))), `*`(`/`(4, 405), `*`(`^`(arcsin(t), 5))))](/view.aspx?SI=5475/Approx_Elliptic_Int_73.gif) |
(4.4) |
| > |
e(1,2/3):=simplify(subs(t=1,%)); |
, x = 0 .. arcsin(1)) = `+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(Pi)), `-`(`*`(`/`(2, 27), `*`(`^`(arcsin(1), 3)))), `*`(`/`(4, 405), `*`(`^`(arcsin(1), 5))))](/view.aspx?SI=5475/Approx_Elliptic_Int_74.gif) |
(4.5) |
, x = 0. .. 1.570796327) = 1.378151692](/view.aspx?SI=5475/Approx_Elliptic_Int_75.gif) |
(4.6) |
| > |
E(t,2/3):=EllipticE(t,2/3); |
 |
(4.7) |
| > |
E(1,2/3):=evalf(subs(t=1,%)); |
 |
(4.8) |
| > |
alias(H=Heaviside,th=thickness,c=color): |
| > |
plot1:=plot(E(t,2/3),t=0..1,th=1,c=blue): |
| > |
plot2:=plot(rhs(e(t,2/3)),t=0..1,th=3,c=red,transparency=0.5,linestyle=DASH): |
| > |
plot3:=plot({E(1,2/3),E(1,2/3)*H(t-1)}, t=0..1.001,scaling=constrained,c=black): |
| > |
plots[display](plot1,plot2,plot3); |
| > |
wahrer_Fehler(t,2/3):=E(t,2/3)-rhs(e(t,2/3)); |
 |
(4.9) |
| > |
wahrer_Fehler(1,2/3):=evalf(subs(t=1,%)); |
 |
(4.10) |
| > |
plot(wahrer_Fehler(t,2/3),t=0..1,th=2,c=black); |
| > |
relativer_Fehler(t,2/3):= wahrer_Fehler(t,2/3)/E(t,2/3); |
 |
(4.11) |
| > |
relativer_Fehler(1,2/3):=evalf(subs(t=1,%)); |
 |
(4.12) |
| > |
relativer_Fehler(0,2/3):=Limit(rel_Fehler(t,2/3),t=0)= limit(relativer_Fehler(t,2/3),t=0); |
 |
(4.13) |
| > |
plot(relativer_Fehler(t,2/3),t=0..1,th=2,c=black); |
Conclusion
Die G?te der Approximation des elliptischen Integrals E(t, 2/3) durch eine TAYLOR-Reihe
ist vergleichbar mit der G?te der N?herung auf der Basis einer FOURIER-Analyse.
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