Let g be a semi-simple real Lie algebra. Then g is called compact if the Killing form of g is negative-definite, otherwise g is called non-compact.

A Cartan decomposition is a vector space decomposition g = t ⊕ p, where t is a subalgebra, p a subspace, [t, p] ⊆ p and [p, p] ⊆ t, the Killing form $⟨ \, ⟩$is negative-definite on t and positive-definite on p. The command CartanDecomposition returns 2 lists of vectors. The first list spans the subalgebra t and the second list spans the subspace p. The 3 different calling sequences for CartanDecomposition compute the Cartan decomposition from different data.

 A Cartan involution of g is a Lie algebra automorphism Θ : g → g with ${\mathrm{\Θ}}^2\=\mathrm{Id}$and such that the symmetric bilinear form $B_{{\mathrm{\Θ}}_{}}\left(x\,y\right) \= -⟨x\,{\mathrm{\Θ}}_{}\left(y\right)⟩$is positive-definite. Given a Cartan involution$\mathrm{\Θ}$, the +1, -1 eigenspaces of $\mathrm{\Theta }$ yield a Cartan decomposition of g . This method of finding a Cartan decomposition is used by the first calling sequence CartanDecomposition($\mathbf{\Θ}$).

For a semi-simple matrix algebra which is closed under Hermitian transposition, the decomposition into skew-Hermitian and Hermitian matrices will give a Cartan decomposition. This method of finding a Cartan decomposition is used by the second calling sequence CartanDecomposition(A, alg).

A Cartan decomposition may also be computed from a Cartan subalgebra, a root space decomposition, and a choice of positive roots. From these data a Cartan involution can be determined and the Cartan decomposition derived from it by the third calling sequence.

with(DifferentialGeometry): with(LieAlgebras):

LD := SimpleLieAlgebraData("sl(3)", sl3, labelformat = "gl", labels = ['E', 'omega']):

DGsetup(LD);

$\mathrm{Lie\; algebra:\; sl3}$

Theta := Transformation([[E11, -E11], [E22, -E22], [E12, -E21], [E13, -E31], [E21, -E12], [E23, -E32], [E31, -E13], [E32, -E23]]);

$\mathrm{\Θ}:=\left[\left[\mathrm{E11}\,-\mathrm{E11}\right]\,\left[\mathrm{E22}\,-\mathrm{E22}\right]\,\left[\mathrm{E12}\,-\mathrm{E21}\right]\,\left[\mathrm{E13}\,-\mathrm{E31}\right]\,\left[\mathrm{E21}\,-\mathrm{E12}\right]\,\left[\mathrm{E23}\,-\mathrm{E32}\right]\,\left[\mathrm{E31}\,-\mathrm{E13}\right]\,\left[\mathrm{E32}\,-\mathrm{E23}\right]\right]$

T, P := CartanDecomposition(Theta);

$T\,P:=\left[\mathrm{E12}-\mathrm{E21}\,\mathrm{E13}-\mathrm{E31}\,\mathrm{E23}-\mathrm{E32}\right]\,\left[\mathrm{E11}\,\mathrm{E22}\,\mathrm{E12}\+\mathrm{E21}\,\mathrm{E13}\+\mathrm{E31}\,\mathrm{E23}\+\mathrm{E32}\right]$

Query(T, "Subalgebra");

$\mathrm{true}$

A := BracketOfSubspaces(T, P);

$A:=\left[-\mathrm{E12}-\mathrm{E21}\,2\mathrm{E11}-2\mathrm{E22}\,-\mathrm{E23}-\mathrm{E32}\,\mathrm{E13}\+\mathrm{E31}\,2\mathrm{E11}\right]$

GetComponents(A, P, trueorfalse = "on");

$\mathrm{true}$

B := BracketOfSubspaces(P,P);

$B:=\left[\mathrm{E12}-\mathrm{E21}\,2\mathrm{E13}-2\mathrm{E31}\,\mathrm{E23}-\mathrm{E32}\right]$

GetComponents(B, T, trueorfalse = "on");

$\mathrm{true}$

Query(T, P, "SymmetricPair");

$\mathrm{true}$

 Killing(T);

KP := Killing(P);

LinearAlgebra:-IsDefinite(KP);

$\mathrm{true}$

Query(T, P, "CartanDecomposition");

$\mathrm{true}$

M := StandardRepresentation(sl3);

T2, P2 := CartanDecomposition(M, sl3);

$\mathrm{T2}\,\mathrm{P2}:=\left[\mathrm{E12}-\mathrm{E21}\,\mathrm{E13}-\mathrm{E31}\,\mathrm{E23}-\mathrm{E32}\right]\,\left[\mathrm{E11}\,\mathrm{E22}\,\mathrm{E12}\+\mathrm{E21}\,\mathrm{E13}\+\mathrm{E31}\,\mathrm{E23}\+\mathrm{E32}\right]$

T3, P3 := CartanDecomposition(M);

LD := SimpleLieAlgebraData("sp(4, 2)", sp42, labelformat = "gl", labels = ['F', 'sigma']):

DGsetup(LD);

$\mathrm{Lie\; algebra:\; sp42}$

M := StandardRepresentation(sp42);

T, P := CartanDecomposition(M, sp42);

$T\,P:=\left[\mathrm{F12}\,\mathrm{Fi11}\,\mathrm{Fi12}\,\mathrm{Fi22}\,\mathrm{F14}\,\mathrm{F15}\,\mathrm{F25}\,\mathrm{Fi14}\,\mathrm{Fi15}\,\mathrm{Fi25}\,\mathrm{Fi33}\,\mathrm{F36}\,\mathrm{Fi36}\right]\,\left[\mathrm{F13}\,\mathrm{F23}\,\mathrm{Fi13}\,\mathrm{Fi23}\,\mathrm{F16}\,\mathrm{F26}\,\mathrm{Fi16}\,\mathrm{Fi26}\right]$

Query(T, P, "CartanDecomposition");

$\mathrm{true}$

LD4 := SimpleLieAlgebraData("g(2, Split)", g2);

$\mathrm{LD4}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=-3\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e7}\right]\=3\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e9}\right]\=-2\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e10}\right]\=3\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e11}\right]\=\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e12}\right]\=-\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e13}\right]\=-3\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=2\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e9}\right]\=\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e10}\right]\=-2\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e11}\right]\=-\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e13}\right]\=\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=2\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]\=-3\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e9}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e11}\right]\=-3\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e12}\right]\=-2\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e13}\right]\=\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e10}\right]\=-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e11}\right]\=\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e14}\right]\=\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\=-3\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e9}\right]\=3\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e10}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e11}\right]\=-\mathrm{e1}-3\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e12}\right]\=2\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e14}\right]\=\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e9}\right]\=2\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e11}\right]\=-2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e12}\right]\=-2\mathrm{e1}-3\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e9}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e12}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e1}-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e10}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e11}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e12}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e13}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e1}-2\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e11}\right]\=2\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e12}\right]\=-3\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e10}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e11}\,\mathrm{e12}\right]\=-3\mathrm{e14}\right]$

DGsetup(LD4);

$\mathrm{Lie\; algebra:\; g2}$

CSA := CartanSubalgebra();

$\mathrm{CSA}:=\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]$

RSD := RootSpaceDecomposition(CSA);

$\mathrm{RSD}:=\mathrm{table}\left(\left[\left[0\,1\right]\=\mathrm{e8}\,\left[1\,0\right]\=\mathrm{e6}\,\left[3\,-2\right]\=\mathrm{e10}\,\left[0\,-1\right]\=\mathrm{e14}\,\left[-3\,1\right]\=\mathrm{e13}\,\left[-3\,2\right]\=\mathrm{e4}\,\left[3\,-1\right]\=\mathrm{e7}\,\left[-1\,1\right]\=\mathrm{e5}\,\left[-2\,1\right]\=\mathrm{e9}\,\left[2\,-1\right]\=\mathrm{e3}\,\left[1\,-1\right]\=\mathrm{e11}\,\left[-1\,0\right]\=\mathrm{e12}\right]\right)$

PosRts := PositiveRoots(RSD);

T, P := CartanDecomposition(CSA, RSD, PosRts);

$T\,P:=\left[\mathrm{e3}\+\mathrm{e9}\,\mathrm{e4}\+\mathrm{e10}\,\mathrm{e5}\+\mathrm{e11}\,\mathrm{e6}\+\mathrm{e12}\,\mathrm{e7}\+\mathrm{e13}\,\mathrm{e8}\+\mathrm{e14}\right]\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}-\mathrm{e9}\,\mathrm{e4}-\mathrm{e10}\,\mathrm{e5}-\mathrm{e11}\,\mathrm{e6}-\mathrm{e12}\,\mathrm{e7}-\mathrm{e13}\,\mathrm{e8}-\mathrm{e14}\right]$

Query(T, P, "CartanDecomposition");

$\mathrm{true}$