Let $\mathrm{\ρ} \: \mathrm{\𝔤}\mathit{ }\mathit{\to }\mathit{ }\mathrm{gl}\left(V\right)$be a representation of a Lie algebra $\mathrm{\𝔤}\mathit{ }\mathit{ }$on a vector space $V$. A vector $Y \in V$ is an invariant vector for the representation $\mathrm{\ρ}$if $\mathrm{\ρ}\left(x\right)\left(Y\right) \= 0$for all $x \in \mathrm{\𝔤}$.   

Let $W\=T_s^r\left(V\right)$be the vector space of type $\left(r\, s\right)$ tensors on $V\.$Then the representation $\mathrm{\rho } \: 𝔤\mathit{ }\mathit{\to }\mathit{ }\mathrm{gl}\left(V\right)$defines an induced representation $\overline{\mathrm{\ρ}}\mathit{\:}\mathit{ }\mathrm{\𝔤}\mathit{ }\mathit{\to }\mathit{ }\mathrm{gl}\left(W\right)$.

The procedure Invariants($\mathbf{\rho }$) returns a basis for the vector subspace of invariant vectors for the representation rho. An empty list is returned if the zero vector is the only invariant vector.

The procedure Invariants($\mathbf{\rho }$, T) returns a basis for the subspace of tensors which belong to T and which are invariant with respect to the representation $\bar{\mathrm{\rho }}$ .

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{Tensor}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{Library}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$L≔\mathrm{LieAlgebraData}\left(\left[\left[\mathrm{x1}\,\mathrm{x2}\right]=-2\mathrm{x1}\,\left[\mathrm{x1}\,\mathrm{x3}\right]=\mathrm{x2}\,\left[\mathrm{x2}\,\mathrm{x3}\right]=-2\mathrm{x3}\right]\,\left[\mathrm{x1}\,\mathrm{x2}\,\mathrm{x3}\right]\,\mathrm{sl2}\right)$

$L:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=-2\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=-2\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(L\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[\mathrm{z1}\,\mathrm{z2}\,\mathrm{z3}\,\mathrm{z4}\,\mathrm{z5}\,\mathrm{z6}\right]\,\mathrm{W1}\right)\:$

$M≔\left[\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[0\,0\,0\,0\,0\,0\right]\,\left[-2\,0\,0\,0\,0\,0\right]\,\left[0\,-1\,0\,0\,0\,0\right]\,\left[0\,-3\,0\,0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,-3\,-1\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\,0\,-2\,0\right]\right]\right)\,\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[-4\,0\,0\,0\,0\,0\right]\,\left[0\,-2\,0\,0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\,0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\,0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\,0\,2\,0\right]\,\left[0\,0\,0\,0\,0\,4\right]\right]\right)\,\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[0\,-2\,0\,0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,-3\,-1\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\,0\,-1\,0\right]\,\left[0\,0\,0\,0\,-3\,0\right]\,\left[0\,0\,0\,0\,0\,-2\right]\,\left[0\,0\,0\,0\,0\,0\right]\right]\right)\right]\:$

$\mathrm{\ρ1}≔\mathrm{Representation}\left(\mathrm{sl2}\,\mathrm{W1}\,M\right)$

$\mathrm{Inv}≔\mathrm{Invariants}\left(\mathrm{\ρ1}\right)$

$\mathrm{Inv}:=\left[-\frac{1}{3}\mathrm{D\_z3}\+\mathrm{D\_z4}\right]$

$\mathrm{map2}\left(\mathrm{ApplyRepresentation}\,\mathrm{\ρ1}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\,\mathrm{Inv}\left[1\right]\right)$

$\left[0\mathrm{D\_z1}\,0\mathrm{D\_z1}\,0\mathrm{D\_z1}\right]$

$L≔\mathrm{Retrieve}\left(''Winternitz''\,1\,\left[3\,2\right]\,\mathrm{Alg1}\right)$

$L:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\+\mathrm{e2}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(L\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[x\,y\,z\right]\,V\right)\:$

$\mathrm{\ρ2}≔\mathrm{Representation}\left(\mathrm{Alg1}\,V\,\mathrm{Adjoint}\left(\mathrm{Alg1}\right)\right)$

$F≔\left[\mathrm{D\_x}\,\mathrm{D\_y}\,\mathrm{D\_z}\right]$

$F:=\left[\mathrm{D\_x}\,\mathrm{D\_y}\,\mathrm{D\_z}\right]$

$\mathrm{Invariants}\left(\mathrm{\ρ2}\,F\right)$

$\mathrm{\Omega }≔\left[\mathrm{dx}\,\mathrm{dy}\,\mathrm{dz}\right]$

$\mathrm{\Ω}:=\left[\mathrm{dx}\,\mathrm{dy}\,\mathrm{dz}\right]$

$\mathrm{Invariants}\left(\mathrm{\ρ2}\,\mathrm{\Omega }\right)$

$\left[\mathrm{dz}\right]$

$\mathrm{T1}≔\mathrm{Tensor}:-\mathrm{GenerateTensors}\left(\left[\left[\mathrm{dx}\,\mathrm{dy}\,\mathrm{dz}\right]\,\left[\mathrm{D\_x}\,\mathrm{D\_y}\,\mathrm{D\_z}\right]\right]\right)$

$\mathrm{T1}:=\left[\mathrm{dx}\mathrm{D\_x}\,\mathrm{dx}\mathrm{D\_y}\,\mathrm{dx}\mathrm{D\_z}\,\mathrm{dy}\mathrm{D\_x}\,\mathrm{dy}\mathrm{D\_y}\,\mathrm{dy}\mathrm{D\_z}\,\mathrm{dz}\mathrm{D\_x}\,\mathrm{dz}\mathrm{D\_y}\,\mathrm{dz}\mathrm{D\_z}\right]$

$\mathrm{Inv1}≔\mathrm{Invariants}\left(\mathrm{\ρ2}\,\mathrm{T1}\right)$

$\mathrm{Inv1}:=\left[\mathrm{dx}\mathrm{D\_x}\+\mathrm{dy}\mathrm{D\_y}\+\mathrm{dz}\mathrm{D\_z}\right]$

$\mathrm{T2}≔\mathrm{Tensor}:-\mathrm{GenerateSymmetricTensors}\left(\left[\mathrm{dx}\,\mathrm{dy}\,\mathrm{dz}\right]\,2\right)$

$\mathrm{T2}:=\left[\mathrm{dx}\mathrm{dx}\,\frac{1}{2}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\+\frac{1}{2}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\,\frac{1}{2}\mathrm{dx}\mathrm{dz}\+\frac{1}{2}\mathrm{dz}\mathrm{dx}\,\mathrm{dy}\mathrm{dy}\,\frac{1}{2}\mathrm{dy}\mathrm{dz}\+\frac{1}{2}\mathrm{dz}\mathrm{dy}\,\mathrm{dz}\mathrm{dz}\right]$

$\mathrm{Inv2}≔\mathrm{Invariants}\left(\mathrm{\ρ2}\,\mathrm{T2}\right)$

$\mathrm{Inv2}:=\left[\mathrm{dz}\mathrm{dz}\right]$

$\mathrm{T3}≔\mathrm{Tensor}:-\mathrm{GenerateTensors}\left(\left[\mathrm{T1}\,\left[\mathrm{dx}\,\mathrm{dy}\,\mathrm{dz}\right]\right]\right)$

$\mathrm{T3}:=\left[\mathrm{dx}\mathrm{D\_x}\mathrm{dx}\,\mathrm{dx}\mathrm{D\_x}\mathrm{dy}\,\mathrm{dx}\mathrm{D\_x}\mathrm{dz}\,\mathrm{dx}\mathrm{D\_y}\mathrm{dx}\,\mathrm{dx}\mathrm{D\_y}\mathrm{dy}\,\mathrm{dx}\mathrm{D\_y}\mathrm{dz}\,\mathrm{dx}\mathrm{D\_z}\mathrm{dx}\,\mathrm{dx}\mathrm{D\_z}\mathrm{dy}\,\mathrm{dx}\mathrm{D\_z}\mathrm{dz}\,\mathrm{dy}\mathrm{D\_x}\mathrm{dx}\,\mathrm{dy}\mathrm{D\_x}\mathrm{dy}\,\mathrm{dy}\mathrm{D\_x}\mathrm{dz}\,\mathrm{dy}\mathrm{D\_y}\mathrm{dx}\,\mathrm{dy}\mathrm{D\_y}\mathrm{dy}\,\mathrm{dy}\mathrm{D\_y}\mathrm{dz}\,\mathrm{dy}\mathrm{D\_z}\mathrm{dx}\,\mathrm{dy}\mathrm{D\_z}\mathrm{dy}\,\mathrm{dy}\mathrm{D\_z}\mathrm{dz}\,\mathrm{dz}\mathrm{D\_x}\mathrm{dx}\,\mathrm{dz}\mathrm{D\_x}\mathrm{dy}\,\mathrm{dz}\mathrm{D\_x}\mathrm{dz}\,\mathrm{dz}\mathrm{D\_y}\mathrm{dx}\,\mathrm{dz}\mathrm{D\_y}\mathrm{dy}\,\mathrm{dz}\mathrm{D\_y}\mathrm{dz}\,\mathrm{dz}\mathrm{D\_z}\mathrm{dx}\,\mathrm{dz}\mathrm{D\_z}\mathrm{dy}\,\mathrm{dz}\mathrm{D\_z}\mathrm{dz}\right]$

$\mathrm{Inv3}≔\mathrm{Invariants}\left(\mathrm{\ρ2}\,\mathrm{T3}\right)$

$\mathrm{Inv3}:=\left[\mathrm{dx}\mathrm{D\_x}\mathrm{dz}\+\mathrm{dy}\mathrm{D\_y}\mathrm{dz}\+\mathrm{dz}\mathrm{D\_z}\mathrm{dz}\,-\mathrm{dx}\mathrm{D\_x}\mathrm{dz}-\mathrm{dy}\mathrm{D\_y}\mathrm{dz}\+\mathrm{dz}\mathrm{D\_x}\mathrm{dx}\+\mathrm{dz}\mathrm{D\_y}\mathrm{dy}\,-\mathrm{dy}\mathrm{D\_x}\mathrm{dz}\+\mathrm{dz}\mathrm{D\_x}\mathrm{dy}\right]$

$A≔\mathrm{map2}\left(\mathrm{ApplyRepresentation}\,\mathrm{\ρ2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\right)$

$\mathrm{ChangeFrame}\left(V\right)$

$\mathrm{Alg1}$

$\mathrm{Gamma}≔\mathrm{map}\left(\mathrm{convert}\,A\,\mathrm{DGvector}\right)$

$\mathrm{\Γ}:=\left[z\mathrm{D\_x}\,z\mathrm{D\_x}\+z\mathrm{D\_y}\,-\left(x\+y\right)\mathrm{D\_x}-y\mathrm{D\_y}\right]$

$\mathrm{Matrix}\left(1\,3\,\left(i\,j\right)\mapsto \mathrm{LieDerivative}\left(\mathrm{Gamma}\left[j\right]\,\mathrm{Inv1}\left[i\right]\right)\right)$

$\mathrm{Matrix}\left(1\,3\,\left(i\,j\right)\mapsto \mathrm{LieDerivative}\left(\mathrm{Gamma}\left[j\right]\,\mathrm{Inv2}\left[i\right]\right)\right)$

$\mathrm{Matrix}\left(3\,3\,\left(i\,j\right)\mapsto \mathrm{LieDerivative}\left(\mathrm{Gamma}\left[j\right]\,\mathrm{Inv3}\left[i\right]\right)\right)$