MinimalSubalgebra(S) calculates the smallest Lie subalgebra $J$containing the list of vectors S from a defined Lie algebra $\mathrm{\𝔤}$. A list of basis vectors for the subalgebra $J$returned.

MinimalSubalgebra(M) calculates the smallest matrix algebra containing the matrices in the list M.

The command MinimalSubalgebra is part of the DifferentialGeometry:-LieAlgebras package.  It can be used in the form MinimalSubalgebra(...) only after executing the commands with(DifferentialGeometry) and with(LieAlgebras), but can always be used by executing DifferentialGeometry:-LieAlgebras:-MinimalSubalgebra(...).

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$\mathrm{L1}≔\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''LieAlgebra''\,\mathrm{Alg1}\,\left[5\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,5\,1\right]\,2\right]\,\left[\left[2\,3\,1\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,5\,2\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,5\,3\right]\,1\right]\,\left[\left[3\,5\,3\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,5\,4\right]\,2\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{L1}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=2\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e2}\+\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=2\mathrm{e4}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{L1}\right)\:$

$\mathrm{S1}≔\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\:$

$\mathrm{A1}≔\mathrm{MinimalSubalgebra}\left(\mathrm{S1}\right)$

$\mathrm{A1}:=\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{S2}≔\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\:$

$\mathrm{A2}≔\mathrm{MinimalSubalgebra}\left(\mathrm{S2}\right)$

$\mathrm{A2}:=\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{S2}\,''Subalgebra''\right)$

$\mathrm{false}$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{A2}\,''Subalgebra''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{S3}≔\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\:$

$\mathrm{A3}≔\mathrm{MinimalSubalgebra}\left(\mathrm{S3}\right)$

$\mathrm{A3}:=\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]$

$M≔\left[\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[1\,0\,0\right]\,\left[0\,1\,0\right]\,\left[1\,0\,0\right]\right]\right)\,\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[0\,1\,0\right]\,\left[0\,1\,1\right]\,\left[0\,1\,0\right]\right]\right)\right]$

$N≔\mathrm{MinimalSubalgebra}\left(M\right)$

$\mathrm{LieAlgebraData}\left(N\right)$

$\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e3}\+\mathrm{e4}\right]$