Let $\mathrm{\𝔤}$ be a semi-simple Lie algebra with Killing form $B$and Cartan involution $\mathrm{\θ}\.$By definition, the inner product $Q\left(y\, z\right) \=-B\left(y\, \mathrm{\θ}\left(z\right)\right)$is positive-definite and satisfies, by the Jacobi identity, $Q\left(\left[x\, y\right]\, z\right) \+ Q\left(y\,\left[\mathrm{\θ}\left(x\right)\,z\right]\right) \= 0.$This situation generalizes to any representation space $V$of $\mathrm{\𝔤}$. Specifically, there always exists on $V$a positive-definite inner product $Q$such that

The calling sequence PositiveDefiniteMetricOnRepresentationSpace(theta, rho) returns the most general quadratic form $Q$ on $V$which satisfies (*).

with(DifferentialGeometry): with(LieAlgebras):

LD := SimpleLieAlgebraData("sl(3)", sl3);

$\mathrm{LD}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=2\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e7}\right]\=-2\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=2\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e8}\right]\=-2\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e1}-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e2}\right]$

DGsetup(LD);

$\mathrm{Lie\; algebra:\; sl3}$

DGsetup([x1, x2, x3], V);

$\mathrm{frame\; name:\; V}$

rho := StandardRepresentation(sl3, representationspace = V);

theta := SimpleLieAlgebraProperties(sl3)["CartanInvolution"];

$\mathrm{\θ}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,-\mathrm{e1}\right]\,\left[\mathrm{e2}\,-\mathrm{e2}\right]\,\left[\mathrm{e3}\,-\mathrm{e5}\right]\,\left[\mathrm{e4}\,-\mathrm{e7}\right]\,\left[\mathrm{e5}\,-\mathrm{e3}\right]\,\left[\mathrm{e6}\,-\mathrm{e8}\right]\,\left[\mathrm{e7}\,-\mathrm{e4}\right]\,\left[\mathrm{e8}\,-\mathrm{e6}\right]\right]$

PositiveDefiniteMetricOnRepresentationSpace(theta, rho);

$\mathrm{dx1}\mathrm{dx1}\+\mathrm{dx2}\mathrm{dx2}\+\mathrm{dx3}\mathrm{dx3}$

DGsetup([y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8], W);

$\mathrm{frame\; name:\; W}$

chi := Adjoint(sl3, representationspace = W);

Q := PositiveDefiniteMetricOnRepresentationSpace(theta, chi);

$Q:=2\mathrm{dy1}\mathrm{dy1}\+\mathrm{dy1}\mathrm{dy2}\+\mathrm{dy2}\mathrm{dy1}\+2\mathrm{dy2}\mathrm{dy2}\+\mathrm{dy3}\mathrm{dy3}\+\mathrm{dy4}\mathrm{dy4}\+\mathrm{dy5}\mathrm{dy5}\+\mathrm{dy6}\mathrm{dy6}\+\mathrm{dy7}\mathrm{dy7}\+\mathrm{dy8}\mathrm{dy8}$

K := Killing(sl3):

J := Tools:-DGinfo(theta, "JacobianMatrix"):

convert(-K.J, DGtensor, [["cov_bas", "cov_bas"],[]], W);

$12\mathrm{dy1}\mathrm{dy1}\+6\mathrm{dy1}\mathrm{dy2}\+6\mathrm{dy2}\mathrm{dy1}\+12\mathrm{dy2}\mathrm{dy2}\+6\mathrm{dy3}\mathrm{dy3}\+6\mathrm{dy4}\mathrm{dy4}\+6\mathrm{dy5}\mathrm{dy5}\+6\mathrm{dy6}\mathrm{dy6}\+6\mathrm{dy7}\mathrm{dy7}\+6\mathrm{dy8}\mathrm{dy8}$