A real semi-simple Lie algebra $𝔤$ is called a split semi-simple Lie algebra if there exists a real root space decomposition of $𝔤$, that is to say, there is a Cartan subalgebra$\mathit{ }\mathrm{\𝔥} \subset \mathrm{\𝔤}\mathit{ }$such that each of the adjoint matrices $\mathrm{ad}\left(x\right)$, for $x \in \mathrm{\𝔥}\mathit{\,}$is diagonalizable over the real numbers. A real semi-simple Lie algebra $𝔤$ is called compact if the Killing form is negative-definite. This implies that the eigenvalues for the adjoint matrices $\mathrm{ad}\left(x\right)$, for $x \in \mathrm{\𝔥}\mathit{\,}\mathit{ }$are all pure imaginary for any choice of Cartan subalgebra.

 Given any real semi-simple Lie algebra $𝔤$, then

The command SplitAndCompactForms returns 2 lists of vectors which give basis for $\mathrm{\𝔤}\mathit{\'}$ and $\mathrm{\𝔤}\mathit{\'}\mathit{\'}$. By applying the commands LieAlgebraData and DGsetup to these lists of vectors, one obtains the split real form and compact real form of the Lie algebra $\mathrm{\𝔤}$.

The basis for the split real form returned by the procedure SplitAndCompactForms is a ChevalleyBasis $\mathrm{\ℬ}\mathit{\'}\mathit{ }\mathit{\=}\left[h_1\, h_{2 }\, ..\.\, h_{r }\, x_1\, x_2\, ..\.\, x_{\mathrm{\𝓁}}\, y_1\, y_2\, ..\.\, y_{\mathrm{\𝓁}}\right]$for $\mathrm{\𝔤}\mathit{\'}$. From the properties of the Chevalley basis described in the help page ChevalleyBasis, it can be established that the basis

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{Tensor}\right)\:$

$\mathrm{LD}≔\mathrm{SimpleLieAlgebraData}\left(''so(3,1)''\,\mathrm{so31}\right)$

$\mathrm{LD}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e4}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; so31}$

$\mathrm{Properties}≔\mathrm{SimpleLieAlgebraProperties}\left(\mathrm{so31}\right)\:$

$\mathrm{CSA}≔\mathrm{Properties}\left[''CartanSubalgebra''\right]$

$\mathrm{CSA}:=\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]$

$\mathrm{RSD}≔\mathrm{eval}\left(\mathrm{Properties}\left[''RootSpaceDecomposition''\right]\right)$

$\mathrm{RSD}:=\mathrm{table}\left(\left[\left[-1\,\mathrm{I}\right]\=\mathrm{e4}-\mathrm{I}\mathrm{e5}\,\left[-1\,-\mathrm{I}\right]\=\mathrm{e4}\+\mathrm{I}\mathrm{e5}\,\left[1\,\mathrm{I}\right]\=\mathrm{e2}-\mathrm{I}\mathrm{e3}\,\left[1\,-\mathrm{I}\right]\=\mathrm{e2}\+\mathrm{I}\mathrm{e3}\right]\right)$

$\mathrm{PosRts}≔\mathrm{Properties}\left[''PositiveRoots''\right]$

$\mathrm{BasisS},\mathrm{BasisC}≔\mathrm{SplitAndCompactForms}\left(\mathrm{CSA}\,\mathrm{RSD}\,\mathrm{PosRts}\right)$

$\mathrm{BasisS}\,\mathrm{BasisC}:=\left[\mathrm{e1}\+\mathrm{I}\mathrm{e6}\,\mathrm{e1}-\mathrm{I}\mathrm{e6}\,-\frac{1}{2}\mathrm{e2}-\frac{\mathrm{I}}{2}\mathrm{e3}\,-\frac{1}{2}\mathrm{e2}\+\frac{\mathrm{I}}{2}\mathrm{e3}\,-\mathrm{e4}\+\mathrm{I}\mathrm{e5}\,-\mathrm{e4}-\mathrm{I}\mathrm{e5}\right]\,\left[\mathrm{I}\mathrm{e1}-\mathrm{e6}\,\mathrm{I}\mathrm{e1}\+\mathrm{e6}\,-\frac{1}{2}\mathrm{e2}-\frac{\mathrm{I}}{2}\mathrm{e3}-\mathrm{e4}\+\mathrm{I}\mathrm{e5}\,-\frac{1}{2}\mathrm{e2}\+\frac{\mathrm{I}}{2}\mathrm{e3}-\mathrm{e4}-\mathrm{I}\mathrm{e5}\,-\frac{\mathrm{I}}{2}\mathrm{e2}\+\frac{1}{2}\mathrm{e3}\+\mathrm{I}\mathrm{e4}\+\mathrm{e5}\,-\frac{\mathrm{I}}{2}\mathrm{e2}-\frac{1}{2}\mathrm{e3}\+\mathrm{I}\mathrm{e4}-\mathrm{e5}\right]$

$\mathrm{LDS}≔\mathrm{LieAlgebraData}\left(\mathrm{BasisS}\,\mathrm{so31S}\right)$

$\mathrm{LDS}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=-2\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=2\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=-2\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e2}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LDS}\,\left['\mathrm{h1}'\,'\mathrm{h2}'\,'\mathrm{x1}'\,'\mathrm{x2}'\,'\mathrm{y1}'\,'\mathrm{y2}'\right]\,\left['\mathrm{\theta }'\right]\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; so31S}$

$\mathrm{MultiplicationTable}\left(''LieTable''\right)$

$\mathrm{RootSpaceDecomposition}\left(\left[\mathrm{h1}\,\mathrm{h2}\right]\right)$

$\mathrm{table}\left(\left[\left[0\,-2\right]\=\mathrm{y2}\,\left[2\,0\right]\=\mathrm{x1}\,\left[-2\,0\right]\=\mathrm{y1}\,\left[0\,2\right]\=\mathrm{x2}\right]\right)$

$\mathrm{LDS}≔\mathrm{LieAlgebraData}\left(\mathrm{BasisC}\,\mathrm{so31C}\right)$

$\mathrm{LDS}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=2\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=-2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=2\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=-2\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=2\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\right]\=2\mathrm{e2}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LDS}\,\left[E\right]\,\left[\mathrm{\omega }\right]\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; so31C}$

$\mathrm{Killing}\left(\right)$

$\mathrm{RootSpaceDecomposition}\left(\left[\mathrm{E1}\,\mathrm{E2}\right]\right)$

$\mathrm{table}\left(\left[\left[0\,2\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E4}-\mathrm{I}\mathrm{E6}\,\left[-2\mathrm{I}\,0\right]\=\mathrm{E3}\+\mathrm{I}\mathrm{E5}\,\left[0\,-2\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E4}\+\mathrm{I}\mathrm{E6}\,\left[2\mathrm{I}\,0\right]\=\mathrm{E3}-\mathrm{I}\mathrm{E5}\right]\right)$