The suggested use of this program is as follows. Let $K\=\left[K_1\,K_2\,..\.\,K_{p-1}\right]$ be a list of bases for the Killing tensors of a metric $g$, from rank $1$ to rank $p-1$. Let $S$ be the Killing tensors of rank $p$ which are symmetric tensor products of the elements of $K$. This list of Killing tensors $S$ can be generated by the command SymmetricProductsOfKillingTensors. Now use the command KillingTensors to calculate the Killing tensors $T$ of rank $p$.  Then the program IndependentKillingTensors(T, S) will return the list of rank $p$ Killing tensors in $T$ not in the symmetric algebra of Killing tensors generated by $S$.

This command is part of the DifferentialGeometry:-Tensor package, and so can be used in the form IndependentKillingTensors(...) only after executing the commands with(DifferentialGeometry), with(Tensor) in that order.  It can always be used in the long form DifferentialGeometry:-Tensor:-IndependentKillingTensors.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{Tensor}\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[x\,y\right]\,M\right)\:$

$g≔\mathrm{evalDG}\left(\left(\frac{1}{y^2}\right)\&mult\left(\mathrm{dx}\&t\mathrm{dx}+\mathrm{dy}\&t\mathrm{dy}\right)\right)$

$g:=\frac{1}{y^2}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\frac{1}{y^2}\mathrm{dy}\mathrm{dy}$

$\mathrm{K1}≔\mathrm{KillingTensors}\left(g\,1\right)$

$\mathrm{K1}:=\left[\frac{x^2-y^2}{2y^2}\mathrm{dx}+\frac{x}{y}\mathrm{dy}\,\frac{x}{y^2}\mathrm{dx}+\frac{1}{y}\mathrm{dy}\,\frac{1}{y^2}\mathrm{dx}\right]$

$\mathrm{K2}≔\mathrm{SymmetricProductsOfKillingTensors}\left(\left[\mathrm{K1}\right]\,2\right)$

$\mathrm{K2}:=\left[\frac{{\left(x^2-y^2\right)}^2}{4y^4}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\frac{\left(x^2-y^2\right)x}{2y^3}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{\left(x^2-y^2\right)x}{2y^3}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+\frac{x^2}{y^2}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\,\frac{\left(x^2-y^2\right)x}{2y^4}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\frac{3x^2-y^2}{4y^3}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{3x^2-y^2}{4y^3}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+\frac{x}{y^2}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\,\frac{x^2-y^2}{2y^4}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\frac{x}{2y^3}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{x}{2y^3}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\,\frac{x^2}{y^4}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\frac{x}{y^3}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{x}{y^3}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+\frac{1}{y^2}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\,\frac{x}{y^4}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\frac{1}{2y^3}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{1}{2y^3}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\,\frac{1}{y^4}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\right]$

$\mathrm{T2}≔\mathrm{KillingTensors}\left(g\,2\right)$

$\mathrm{T2}:=\left[\frac{x^4-2x^2{y}^2+y^4}{8y^4}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\frac{\left(x^2-y^2\right)x}{4y^3}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{\left(x^2-y^2\right)x}{4y^3}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+\frac{x^2}{2y^2}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\,\frac{\left(x^2-y^2\right)x}{2y^4}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\frac{3x^2-y^2}{4y^3}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{3x^2-y^2}{4y^3}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+\frac{x}{y^2}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\,\frac{1}{y^2}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\frac{1}{y^2}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\,\frac{x^2-y^2}{2y^4}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\frac{x}{2y^3}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{x}{2y^3}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\,\frac{x}{y^4}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\frac{1}{2y^3}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{1}{2y^3}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\,\frac{1}{y^4}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\right]$

$\mathrm{IndependentKillingTensors}\left(\mathrm{T2}\,\mathrm{K2}\right)$

$\mathrm{K3}≔\mathrm{SymmetricProductsOfKillingTensors}\left(\left[\mathrm{K1}\right]\,3\right)\:$

$\mathrm{T3}≔\mathrm{KillingTensors}\left(g\,3\right)$

$\mathrm{T3}:=\left[\frac{x^6-3y^2{x}^4+3x^2{y}^4-y^6}{48y^6}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\frac{x\left(x^4-2x^2{y}^2+y^4\right)}{24y^5}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{x\left(x^4-2x^2{y}^2+y^4\right)}{24y^5}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+\frac{\left(x^2-y^2\right)x^2}{12y^4}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dy}+\frac{x\left(x^4-2x^2{y}^2+y^4\right)}{24y^5}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\frac{\left(x^2-y^2\right)x^2}{12y^4}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{\left(x^2-y^2\right)x^2}{12y^4}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+\frac{x^3}{6y^3}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\,\frac{x\left(x^4-2x^2{y}^2+y^4\right)}{8y^6}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\frac{5x^4-6x^2{y}^2+y^4}{24y^5}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{5x^4-6x^2{y}^2+y^4}{24y^5}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+\frac{x\left(2x^2-y^2\right)}{6y^4}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dy}+\frac{5x^4-6x^2{y}^2+y^4}{24y^5}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\frac{x\left(2x^2-y^2\right)}{6y^4}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{x\left(2x^2-y^2\right)}{6y^4}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+\frac{x^2}{2y^3}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\,-\frac{x^4-6x^2{y}^2+5y^4}{8y^6}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}-\frac{x\left(x^2-3y^2\right)}{6y^5}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dy}-\frac{x\left(x^2-3y^2\right)}{6y^5}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dx}-\frac{1}{6y^2}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dy}-\frac{x\left(x^2-3y^2\right)}{6y^5}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dx}-\frac{1}{6y^2}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dy}-\frac{1}{6y^2}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+\frac{x}{y^3}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\,-\frac{x\left(x^2-3y^2\right)}{2y^6}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}-\frac{x^2-y^2}{2y^5}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dy}-\frac{x^2-y^2}{2y^5}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dx}-\frac{x^2-y^2}{2y^5}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\frac{1}{y^3}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\,\frac{x^4-2x^2{y}^2+y^4}{8y^6}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\frac{\left(x^2-y^2\right)x}{6y^5}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{\left(x^2-y^2\right)x}{6y^5}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+\frac{x^2}{6y^4}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dy}+\frac{\left(x^2-y^2\right)x}{6y^5}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\frac{x^2}{6y^4}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{x^2}{6y^4}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\,\frac{\left(x^2-y^2\right)x}{2y^6}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\frac{3x^2-y^2}{6y^5}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{3x^2-y^2}{6y^5}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+\frac{x}{3y^4}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dy}+\frac{3x^2-y^2}{6y^5}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\frac{x}{3y^4}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{x}{3y^4}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\,\frac{1}{y^4}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\frac{1}{3y^4}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dy}+\frac{1}{3y^4}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{1}{3y^4}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\,\frac{x^2-y^2}{2y^6}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\frac{x}{3y^5}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{x}{3y^5}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+\frac{x}{3y^5}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\,\frac{x}{y^6}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\frac{1}{3y^5}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{1}{3y^5}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+\frac{1}{3y^5}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\,\frac{1}{y^6}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\right]$

$\mathrm{IndependentKillingTensors}\left(\mathrm{T3}\,\mathrm{K3}\right)$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[x\,y\,z\right]\,M\right)\:$

$g≔\mathrm{evalDG}\left(x\mathrm{dx}\&s\mathrm{dy}+x\mathrm{dz}\&t\mathrm{dz}\right)$

$g≔\frac{x}{2}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{x}{2}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+x\mathrm{dz}\mathrm{dz}$

$\mathrm{T1}≔\mathrm{KillingTensors}\left(g\,1\right)$

$\mathrm{T1}≔\left[-xz\mathrm{dx}+x^2\mathrm{dz}\,x\mathrm{dz}\,2yx\mathrm{dx}-x^2\mathrm{dy}+xz\mathrm{dz}\,x\mathrm{dx}\right]$

$\mathrm{T2}≔\mathrm{KillingTensors}\left(g\,2\right)\:$

$\mathrm{nops}\left(\mathrm{T1}\right),\mathrm{nops}\left(\mathrm{T2}\right)$

$4,14$

$\mathrm{S2}≔\mathrm{SymmetricProductsOfKillingTensors}\left(\left[\mathrm{T1}\right]\,2\right)\:$

$\mathrm{nops}\left(\mathrm{S2}\right)$

$10$

$\mathrm{K2}≔\mathrm{IndependentKillingTensors}\left(\mathrm{T2}\,\mathrm{S2}\right)$

$\mathrm{K2}≔\left[\frac{yx}{2}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{yx}{2}\mathrm{dy}\mathrm{dx}-\frac{x^2}{2}\mathrm{dy}\mathrm{dy}+yx\mathrm{dz}\mathrm{dz}\,\frac{x{z}^2}{4}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{x{z}^2}{4}\mathrm{dy}\mathrm{dx}-\frac{x^{2}z}{2}\mathrm{dy}\mathrm{dz}-\frac{x^{2}z}{2}\mathrm{dz}\mathrm{dy}+\frac{x\left(2yx+z^2\right)}{2}\mathrm{dz}\mathrm{dz}\,\frac{x}{2}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{x}{2}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+x\mathrm{dz}\mathrm{dz}\,\frac{xz}{2}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{xz}{2}\mathrm{dy}\mathrm{dx}-\frac{x^2}{2}\mathrm{dy}\mathrm{dz}-\frac{x^2}{2}\mathrm{dz}\mathrm{dy}+xz\mathrm{dz}\mathrm{dz}\right]$