Let $\mathrm{\𝔤}\mathit{ }$be a $n$-dimensional Lie algebra. An $n \times n$matrix $B$ is a derivation for$\mathit{ }\mathrm{\𝔤}\mathit{ }\mathit{ }$if the associated linear transformation mapping $L_{B }\: \mathrm{\𝔤}\mathit{\to }\mathit{ }\mathrm{\𝔤}$satisfies

Let $\mathrm{\𝔸}$ be a $n$-dimensional Lie algebra (such as the octonion, a Jordan algebra, or a Clifford algebra. See AlgebraLibraryData). An $n \times n$matrix $B$is a derivation for $\mathrm{\𝔸}$ if the associated linear transformation mapping $L_{B }\mathit{\:}\mathit{ }\mathrm{\𝔸}\to \mathit{ }\mathrm{\𝔸}$satisfies

Derivations(Algname, "Inner") returns a list of linearly independent matrices which defines a basis for the Lie algebra of inner derivations for the Lie algebra Algname.

Derivations(Algname) or Derivations(Algname, "Full") returns a list of linearly independent matrices which defines a basis for the Lie algebra of all derivations for the Lie algebra Algname.

Derivations(Algname, "Outer") returns a list of linearly independent matrices which gives a representative list of the outer derivations for the Lie algebra Algname.

If Algname is a general non-commutative algebra, then Derivations(Algname) computes the derivations of this algebra.

The command Derivations is part of the DifferentialGeometry:-LieAlgebras package.  It can be used in the form Derivations(...) only after executing the commands with(DifferentialGeometry) and with(LieAlgebras), but can always be used by executing DifferentialGeometry:-LieAlgebras:-Derivations(...).

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$\mathrm{L1}≔\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''LieAlgebra''\,\mathrm{Alg1}\,\left[4\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,4\,1\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,4\,1\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,4\,2\right]\,1\right]\,\left[\left[3\,4\,3\right]\,1\right]\right]\right]\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{L1}\right)\:$

$\mathrm{MultiplicationTable}\left(''LieBracket''\right)$

$\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e1}\+\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{Inner}≔\mathrm{Derivations}\left(''Inner''\right)$

$\mathrm{Der}≔\mathrm{Derivations}\left(''Full''\right)$

$\mathrm{Outer}≔\mathrm{Derivations}\left(''Outer''\right)$

$\mathrm{Basis}≔\left[\mathrm{op}\left(\mathrm{Inner}\right)\,\mathrm{op}\left(\mathrm{Outer}\right)\right]\:$

$\mathrm{L2}≔\mathrm{LieAlgebraData}\left(\mathrm{Basis}\,\mathrm{DerAlg}\right)$

$\mathrm{L2}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e2}\+\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e6}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{L2}\,\left[E\right]\,\left[a\right]\right)\:$

$\mathrm{Query}\left(''Solvable''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{Query}\left(\left[\mathrm{E1}\,\mathrm{E2}\,\mathrm{E3}\,\mathrm{E4}\right]\,''Ideal''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{L3}≔\mathrm{QuotientAlgebra}\left(\left[\mathrm{E1}\,\mathrm{E2}\,\mathrm{E3}\,\mathrm{E4}\right]\,\left[\mathrm{E5}\,\mathrm{E6}\,\mathrm{E7}\,\mathrm{E8}\right]\,\mathrm{OuterAlg}\right)$

$\mathrm{L3}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e2}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{L3}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; OuterAlg}$

$\mathrm{L4}≔\mathrm{AlgebraLibraryData}\left(''Octonions''\,\mathrm{Oct}\right)$

$\mathrm{L4}:=\left[{\mathrm{e1}}^2\=\mathrm{e1}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e2}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e5}\=\mathrm{e5}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e6}\=\mathrm{e6}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e7}\=\mathrm{e7}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e8}\=\mathrm{e8}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e2}\,{\mathrm{e2}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e4}\=-\mathrm{e3}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e5}\=\mathrm{e6}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e6}\=-\mathrm{e5}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e7}\=-\mathrm{e8}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e8}\=\mathrm{e7}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e2}\=-\mathrm{e4}\,{\mathrm{e3}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e5}\=\mathrm{e7}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e6}\=\mathrm{e8}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e7}\=-\mathrm{e5}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e8}\=-\mathrm{e6}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e3}\=-\mathrm{e2}\,{\mathrm{e4}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e5}\=\mathrm{e8}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e6}\=-\mathrm{e7}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e7}\=\mathrm{e6}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e8}\=-\mathrm{e5}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e5}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e2}\=-\mathrm{e6}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e3}\=-\mathrm{e7}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e4}\=-\mathrm{e8}\,{\mathrm{e5}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e6}\=\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e7}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e8}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e6}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e3}\=-\mathrm{e8}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e7}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e5}\=-\mathrm{e2}\,{\mathrm{e6}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e7}\=-\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e8}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e7}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e8}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e5}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e4}\=-\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e5}\=-\mathrm{e3}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e6}\=\mathrm{e4}\,{\mathrm{e7}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e8}\=-\mathrm{e2}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e8}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e2}\=-\mathrm{e7}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e5}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e5}\=-\mathrm{e4}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e6}\=-\mathrm{e3}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e7}\=\mathrm{e2}\,{\mathrm{e8}}^2\=-\mathrm{e1}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{L4}\right)\:$

$\mathrm{Der}≔\mathrm{Derivations}\left(\mathrm{Oct}\right)$

$\mathrm{nops}\left(\mathrm{Der}\right)$

$14$

$\mathrm{L5}≔\mathrm{LieAlgebraData}\left(\mathrm{Der}\,\mathrm{Alg5}\right)$

$\mathrm{L5}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e5}-\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e4}-\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e9}\right]\=\mathrm{e4}-\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e5}\+\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e11}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e12}\right]\=-\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e13}\right]\=\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=-2\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=2\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e9}\right]\=-\mathrm{e3}-\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e10}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e11}\right]\=\mathrm{e5}\+\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e12}\right]\=-\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e14}\right]\=\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=-2\mathrm{e2}-2\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e9}\right]\=\mathrm{e2}\+\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e10}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e12}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e13}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e14}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\right]\=-2\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e9}\right]\=-\mathrm{e1}\+\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e11}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e12}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e14}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e6}-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e7}-\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e10}\right]\=-\mathrm{e1}\+\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e11}\right]\=-\mathrm{e2}-\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e12}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e5}-\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e9}\right]\=\mathrm{e7}-\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e11}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e12}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e13}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e9}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e10}\right]\=-2\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e11}\right]\=2\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e14}\right]\=\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e9}\right]\=2\mathrm{e7}-2\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e10}\right]\=-\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e11}\right]\=-\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e12}\right]\=\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e13}\right]\=\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e14}\right]\=\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e10}\right]\=-\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e11}\right]\=\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e12}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e14}\right]\=\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e10}\,\mathrm{e11}\right]\=-2\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e10}\,\mathrm{e12}\right]\=\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e10}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e10}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e11}\,\mathrm{e12}\right]\=-\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e11}\,\mathrm{e13}\right]\=\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e11}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e12}\,\mathrm{e13}\right]\=-2\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e12}\,\mathrm{e14}\right]\=2\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e13}\,\mathrm{e14}\right]\=-2\mathrm{e12}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{L5}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; Alg5}$

$\mathrm{Query}\left(''Semisimple''\right)$

$\mathrm{true}$