Let $\mathrm{\𝔤}\mathit{ }$be a Lie algebra. A Cartan subalgebra h is a nilpotent subalgebra whose normalizer in g is itself, that is, $nor\left(\mathrm{\𝔥}\right) \= \mathrm{\𝔥}$ . If g is a semi-simple Lie algebra, then every Cartan subalgebra h is Abelian and $\mathrm{ad}\left(x \right)$(see Adjoint) is a semi-simple linear transformation for every $x \in \mathrm{\𝔥}$ (that is, $\mathrm{ad}\left(x\right)$ is diagonalizable over C). Cartan subalgebras are not unique. However, if g is a semi-simple Lie algebra, then any two Cartan subalgebras of g are related by an automorphism of g Let n be a nilpotent subalgebra of g and let $F\left(\mathrm{\𝔫} \right)\=\{y \in \mathrm{\𝔤}\mathit{ }\mathit{\|}\mathit{ }\mathrm{ad}{\left(x\right)}^r\left(y\right) \=0\}$ be the generalized null space of n. Then there always exists a Cartan subalgebra $\mathrm{\𝔥}\subseteq F\left(\mathrm{\𝔫}\right)\.$If $x \in \mathrm{\𝔤}$is a regular element, then the generalized null space of $x$ is a Cartan subalgebra.

The procedure CartanSubalgebra returns a list of vectors whose span is a Cartan subalgebra.

The procedure CartanSubalgebra implements the algorithm for calculating Cartan subalgebras presented in W. A. De Graaf: Lie Algebras: Theory and Algorithms.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{Library}\right)\:$

$L≔\mathrm{SimpleLieAlgebraData}\left(''sl(3)''\,\mathrm{sl3}\,\mathrm{labelformat}=''gl''\,\mathrm{labels}=\left[E\,\mathrm{\theta }\right]\right)$

$L:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=2\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e7}\right]\=-2\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=2\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e8}\right]\=-2\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e1}-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e2}\right]\,\left[\mathrm{E11}\,\mathrm{E22}\,\mathrm{E12}\,\mathrm{E13}\,\mathrm{E21}\,\mathrm{E23}\,\mathrm{E31}\,\mathrm{E32}\right]\,\left[\mathrm{\θ11}\,\mathrm{\θ22}\,\mathrm{\θ12}\,\mathrm{\θ13}\,\mathrm{\θ21}\,\mathrm{\θ23}\,\mathrm{\θ31}\,\mathrm{\θ32}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(L\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; sl3}$

$\mathrm{CSA}≔\mathrm{CartanSubalgebra}\left(\right)$

$\mathrm{CSA}:=\left[\mathrm{E11}\,\mathrm{E22}\right]$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{CSA}\,''Abelian''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{SubalgebraNormalizer}\left(\mathrm{CSA}\right)$

$\left[\mathrm{E22}\,\mathrm{E11}\right]$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{CSA}\,''CartanSubalgebra''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{StandardRepresentation}\left(\mathrm{sl3}\,\mathrm{CSA}\right)$

$\mathrm{CartanSubalgebra}\left(\left[\mathrm{E11}+3\mathrm{E31}\right]\right)$

$\left[\mathrm{E11}\+3\mathrm{E31}\,\mathrm{E22}\+\frac{3}{2}\mathrm{E31}\right]$

$\mathrm{LD3}≔\mathrm{Retrieve}\left(''Winternitz''\,1\,\left[5\,5\right]\,\mathrm{alg3}\right)$

$\mathrm{LD3}:=\left[\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e2}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD3}\right)\:$

$\mathrm{Query}\left(''Nilpotent''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{CartanSubalgebra}\left(\right)$

$\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]$

$\mathrm{LD4}≔\mathrm{Retrieve}\left(''Winternitz''\,1\,\left[5\,34\right]\,\mathrm{alg4}\right)$

$\mathrm{LD4}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=a\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e2}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD4}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; alg4}$

$\mathrm{Query}\left(''Solvable''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{CSA4}≔\mathrm{CartanSubalgebra}\left(\right)$

$\mathrm{CSA4}:=\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{CSA4}\,''CartanSubalgebra''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{LD5}≔\mathrm{Retrieve}\left(''Turkowski''\,1\,\left[7\,4\right]\,\mathrm{alg5}\right)$

$\mathrm{LD5}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=2\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=-2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\right]\=2\mathrm{e6}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD5}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; alg5}$

$\mathrm{LeviDecomposition}\left(\right)$

$\left[\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\right]\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\right]$

$\mathrm{CartanSubalgebra}\left(\mathrm{alg5}\right)$

$\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e7}\right]$