Etude de cas d’utilisateur: Un professeur de mathématiques redéfinit l’enseignement des mathématiques avec l’aide de Maple

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« Les mathématiques ne sont ni anciennes ni figées, elles sont vivantes et les étudiants ont besoin d’en faire l’expérience », affirme le Professeur Laureano Gonzalez-Vega, en décrivant ainsi sa propre philosophie sur l’enseignement des mathématiques. Durant ses années d’enseignement, le Professeur Gonzalez-Vega s’est rendu compte que les étudiants passaient énormément de temps à essayer de comprendre, souvent sans grand succès, les formules mathématiques et scientifiques qui constituent le fondement des concepts des programmes scientifiques ou techniques. Il y a environ 15 ans, il a introduit dans ses cours des outils logiciels mathématiques dont notamment Maple™, afin d’ajouter une dose de piquant et d’expérimentation. Ce faisant, il a constaté un intérêt accru pour les mathématiques et l’envie d’explorer le côté expérimental du sujet.

Le Professeur Gonzalez-Vega enseigne l’algèbre au Département de Mathématiques, Statistique et Informatique de l’Université de Cantabria dans le nord de l’Espagne. Il est également le Directeur-fondateur du Centro Internacional de Encuentros Matematicos (Centre International de Rencontres Mathématiques).

En enseignant avec Maple, le Professeur Gonzalez-Vega a constaté des changements constructifs dans l’approche des étudiants et dans leurs résultats. Avec le nouveau logiciel, les étudiants ont trouvé qu’il était plus facile et plus rapide de résoudre des problèmes et de comprendre les mathématiques. Ils ont ainsi eu davantage de temps et d’occasions de pousser l’expérience plus avant, d’acquérir une meilleure compréhension des aspects pratiques et d’entamer l’apprentissage de nouveaux sujets complexes.

Fort de ce succès, le Professeur Gonzalez-Vega s’est lancé dans un projet visant à faire bénéficier de cet atout des étudiants dans toute l’Espagne. Avec le concours d’Addlink, partenaire revendeur de Maplesoft™ en Espagne, il est en train de publier une série de cinq ouvrages intitulés « Laboratoire des Mathématiques », couvrant les sujets universitaires des mathématiques de base aux concepts plus complexes.

Voici ces cinq manuels :

1. Nombres et équations : manuel commençant par les connaissances de base des étudiants et introduisant de nouveaux concepts comme les polynômes, les nombres complexes, les inégalités, les systèmes linéaires d’équations, de matrices et de valeurs propres.
2. Limites et dérivées : manuel couvrant les thèmes fondamentaux d’initiation au calcul notamment les fonctions, les limites, les dérivées, les séries de Taylor et les problèmes d’optimisation.
3. Vecteurs, matrices, points, lignes et plans (écrit en collaboration avec Cecilia Valero Revenga) : manuel consacré aux concepts de base de l’algèbre linéaire et de la géométrie.
4. Intégrales et équations différentielles : manuel fournissant un ensemble de recettes pratiques pour calculer les surfaces, volumes et longueurs par détermination des primitives symboliques, plus une brève introduction à la résolution des équations différentielles ordinaires (élémentaires), démontrée à l’aide d’exemples comme les calculs de trajectoires.
5. Visualisation et manipulation de données : manuel explorant les outils d’utilisation avancée, dont la statistique et les mathématiques de l’ingénieur. Introduction des nouveaux concepts mathématiques non traités dans les cours de mathématiques standards mais nécessaires en sciences de l’ingénieur, physique et chimie.

Chacun de ces manuels est constitué d’une série de leçons riches en exemples, suivies d’exercices Maple à l’attention des étudiants et des enseignants. Ces exercices viennent généralement renforcer les leçons apprises en classe. Ils commencent par présenter Maple et quelques exemples simples qui deviennent plus complexes.

Par exemple, le premier manuel aborde la question de la solution analytique du terme général de la suite de Fibonacci. Pour cette suite, le premier nombre est 0, le second nombre est 1 et chaque nombre subséquent est égal à la somme des deux nombres précédents de la suite. En mettant en place une représentation matricielle des termes n^ième et (n+1)^ième, vous pouvez multiplier à plusieurs reprises la matrice par elle-même et calculer les valeurs de la suite. Ces calculs pouvant s’avérer fastidieux, une meilleure méthode est introduite : la matrice initiale A peut être diagonalisée, offrant ainsi un moyen plus facile d’écrire sa puissance n^ième. A cette fin, les valeurs propres et les vecteurs propres de A sont calculés de façon à obtenir une représentation diagonale de A dont la puissance n^ième est très facile à déterminer. A partir de là, une matrice simplifiée peut être générée, donnant l’expression générale du n^ième terme de la suite de Fibonacci.

Dans le second manuel, l’un des principaux exemples porte sur le calcul des maxima et minima de la fonction :

pour différentes valeurs de n. Ce problème dont l’énoncé est élémentaire produit une série de superbes images permettant aux étudiants de s’interroger sur le comportement de ces extrêmes lorsque n devient très élevé.

Les premier et second ouvrages sont désormais en vente, et le Professeur Gonzalez-Vega espère que les suivants seront prêts d’ici à quelques mois. Avec cette nouvelle approche pédagogique, il enseigne à une bonne centaine d’étudiants en cours de première année de physique et de deuxième année d’informatique. D’autres universités comme l’Université de Burgos envisagent ces ouvrages avec grand intérêt et sont en train d’évaluer les avantages que représente leur introduction dans leurs programmes d’études.

Grâce au concours d’Addlink de Maplesoft, des préparatifs sont également en cours pour fournir aux étudiants des ressources en ligne. Les étudiants bénéficieront d’exercices et devoirs en ligne à l’aide de Maple T.A.™, un système en ligne convivial de création d’exercices et devoirs de Maplesoft qui évalue automatiquement les réponses et résultats des étudiants. Le contenu Maple du manuel sera également publié à l’aide de MapleNet™, un outil de publication de documents Maple en direct sur Internet. Les étudiants disposeront ainsi d’un accès interactif pratique au contenu, et les enseignants auront différentes façons de le partager.

« Avec Maple, je peux facilement faire des choses inattendues », explique le Professeur Gonzalez-Vega, résumant ainsi quinze ans d’expérience de Maple. « C’est un outil très simple et très puissant à la fois. En dehors de mon activité d’enseignant, il joue un rôle très important dans mes recherches en matière d’algorithmes pour traiter les entités géométriques. Les utilitaires de Maple correspondent exactement à mes besoins. Je suis un fidèle utilisateur de Maple depuis toutes ces années car l’expérience que j’en ai s’améliore d’année en année ».